¿Puede un grupo tiene un subconjunto que es estable en todos los automorfismos, pero no bajo la inversa?

Question

El título realmente lo dice todo. Para cualquier grupo de $G$ el mapa de $g\mapsto g^{-1}$ da (canónica) isomorfismo de $G$ para el grupo opuesto $G^\mathrm{op}$; esto marca una diferencia, por ejemplo, con la no-conmutativa de los anillos, donde los dos no podría ser isomorfos. Como consecuencia, por ejemplo, no hay diferencias fundamentales entre el estudio de la izquierda y a la derecha del grupo de acciones, incluso para un grupo fijo$~G$.

Así, mientras que los grupos no pueden ser de ninguna manera "naturalmente zurdo", lo que podría ser interpretado con el significado, todavía existe la potencial posibilidad de ser capaz de señalar a algunos "quiral" subconjunto del grupo, un subgrupo que podría tener alguna relación con el grupo sin estar en la misma relación con el grupo opuesto. Es evidente que las nociones de normalización o centraliser que se aplican a algunos (conjunto de) elementos nunca producirá tal subconjunto; de hecho nada de lo que es un subgrupo de no hacer, ya que es cerrado bajo la inversa.

El que me trajo a mi pregunta:

Puede un grupo de $G$ tiene un subconjunto cerrado bajo la acción de la $\operatorname{Aut}(G)$, pero no en el mapa de $g\mapsto g^{-1}$?

Desde que uno tiene, en particular, el interior de automorfismos, solo hay que considerar los sindicatos de clases conjugacy.

No puedo ver ninguna razón por qué esto debería ser imposible, pero también es difícil construir un ejemplo.

• Para Abelian grupos $g\mapsto g^{-1}$ es un automorphism, así que no hay suerte aquí
• Por otro lado la mayoría de los grupos simétricos tienen trivial exterior automorphism grupos; sin embargo aquí todos los $g$ es conjugado a $g^{-1}$, sin suerte, ya sea
• En la alternancia de los grupos de una clase conjugacy de $S_n$ podría desmoronarse, un elemento puede no ser conjugado a la inversa; las dos clases conjugacy seguiría sin embargo estar relacionadas por una capa exterior de automorphism (procedente de la $S_n$)
• En $GL(n,K)$ la mayoría de los elementos no conjugada a su inversa; sin embargo es evidente que existe una salida automorphism de transposición inversa, y cada invertible la matriz es similar a la de su transpuesta (debido a la teoría de la f.g. los módulos a través de un PID, que conduce a la clasificación de similitud por factores invariantes).
• La mayoría de los "naturales" de los subgrupos de $GL(n,K)$ sufre de la misma "exterior automorphism" fenómeno de la alternancia de los grupos, por lo que no se ve prometedor.

Que es donde estoy ahora; yo, desgraciadamente, no conozco un montón de ejemplos en los que me conocen lo suficiente como para ver fácilmente si puedo encontrar dichos subconjuntos. Tal vez un buen candidato es el grupo lineal general más de un sesgo de campo (división de anillo), ya que el resultado de la similitud a la transposición de no llevar a cabo, por lo que yo sé. Pero no sé lo suficiente acerca de automorfismos de estos grupos se sabe si son buenos candidatos.

Answer 1

Hay muchos ejemplos en la literatura de finito $p$-grupos de nilpotence clase $2$ en el que todos los automorfismos son las centrales, es decir, por cada automorphism $\alpha$ y cada una de las $x \in G$, uno ha $\alpha(x) = x z$ algunos $z \in Z(G)$.

Si $G$ es un grupo, con $p > 2$, e $g \in G \setminus Z(G)$, entonces no hay automorphism tomar $g$$g^{-1}$, de lo contrario $g^{-1} = g z$ algunos $z \in Z(G)$, e $g^{2} \in Z(G)$, lo que obliga $g \in Z(G)$$p > 2$.

Así que usted puede tomar la órbita de cualquier $g$ bajo los automorfismos de a $G$ como su subconjunto.

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Como referencia, se puede tomar este papel.