Determinar si los vectores son linealmente independientes

Question

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente:

$$\left[\begin{array}{r}2\\2\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}4\\2\\-2\end{array}\right]$$

He hecho el siguiente sistema de ecuaciones, y creo que hice lo correcto... ha sido un largo tiempo desde que hice este tipo de cosas...

Supongamos la siguiente: \begin{equation*} a\left[\begin{array}{r}2\\2\\0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{r}4\\2\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right] \end{ecuación*} Determinar si $a=b=c=0$: \begin{align} 2a+b+4c&=0&&(1)\\ 2a-b+2c&=0&&(2)\\ b-2c&=0&&(3) \end{align} Restar (2) de (1): \begin{align} b+c&=0&&(4)\\ b-2c&=0&&(5) \end{align} Sustituir (5) en (4): \begin{equation} c=0 \end{equation}

Así que ahora, ¿qué hago con este hecho? Estoy tentado a decir que sólo $c=0$, e $a$ $b$ puede ser algo más... pero no confío en que mi intuición es correcta.

Answer 1

Usted sólo dejó demasiado pronto:

Usted simplemente necesita sustituto $c = 0$ nuevo en las dos ecuaciones: de la ecuación $(3)$, $c = 0 \implies b = 0$.

Con $b = 0, c = 0$ sustituidos en la ecuación $(1)$ o $(2)$, $b = c = 0 \implies a = 0$. Así que al final, ya que

$$\begin{equation*} a\left[\begin{array}{r}2\\2\\0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{r}4\\2\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right] \end{ecuación*}\implica a = b = c = 0$$ los vectores son linealmente independientes.

Usted podría tener, de igual forma, se construyó un $3\times 3$ matriz $M$ con los tres dados los vectores como columnas, y se calcula el determinante de a $M$: sabemos que si $\det M \neq 0$, dado que los vectores son linealmente independientes.

$$M = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$$

$$\det M = 12 \neq 0 \implies \;\;\text{linear independence of columns}$$

Answer 2

puede tomar los vectores de a forman una matriz y compruebe su determinante. Si el determinante es no cero, los vectores son linealmente independientes. De lo contrario, son linealmente dependientes.