Para dos espacios vectoriales, $V$ y $W$ y un mapa $f: V \to W$ es evidente que: $$ \ker(f) \otimes V + V \otimes \ker(f) \subseteq \ker(f \otimes f). $$ ¿Se mantiene la inclusión opuesta? Si es así, me gustaría una prueba, y si no, un contraejemplo.
Básicamente, dado un elemento un elemento $\sum_i a_i \otimes b_i \in V \otimes V$ para lo cual se sostiene que $$ \sum_i f(a_i) \otimes f(b_i) = 0 $$ podemos demostrar que $\sum_i a_i \otimes b_i \in \ker(f) \otimes V + V \otimes \ker(f)$ ?
Tome una base $\{x_i\}_{i \in I_0}$ para el núcleo de $f$ y extenderlo a una base $\{x_i\}_{i \in I}$ para $V$ , donde $I_0 \subset I$ . Así, $\{x_i \otimes x_j : i,j \in I\}$ es una base para $V \otimes V$ . Escriba un elemento general de $\ker(f\otimes f)$ en términos de esta base, y observe que el conjunto $\{f(x_i) \otimes f(x_j) : i,j\in I\setminus I_0\}$ es linealmente independiente.
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