Valor de esta integral definida $\int_{0}^{\infty} \frac{ \ln(x)}{x^2+2x+4} dx $

Question

Así que encontré esta pregunta en brilliant.org y no sabía cómo hacerlo: $$\int_{0}^{\infty} \frac{ \ln(x)}{x^2+2x+4} dx $ $

He intentado completar los cuadrados en el denominador y luego usar una substitución trigonometric (con fuego) pero no consigo nada más allá de eso.

¿Cómo lo hago? ¿Necesitamos distinguir bajo el signo integral aquí?

Answer 1

Esto se puede hacer con variables reales y no, no es necesario distinguir con respecto a un parámetro. Aquí es cómo: $$I=\int_{0}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^2+2x+4} dx $ $ $$I=\int_{0}^{\infty} \frac{\ln(x)}{{(x+1)}^2+3}dx $ $ $$I=\frac{1}{3} \int_{0}^{\infty} \frac{\ln(x)}{ ({ \frac{x+1}{\sqrt{3}} })^2 + 1} dx $ $, listo $$\frac{x+1}{\sqrt{3}} = \tan(t)$ $ así es $t$ entre $\frac{\pi}{6}$y $\frac{\pi}{2}$. Tenemos ahora $$I=\frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{ (\sqrt{3} \tan(t) - 1 )} dt $ $ ahora, utilizar esta propiedad: $$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ $ por lo tanto, tenemos: $$I= \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{ \left( \sqrt{3} \frac{ \sqrt{3} + \tan(t) }{\sqrt{3} \tan(t) - 1} - 1\right) }dt $ $ en simplificar, $$I=\frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{\left( \frac{4}{\sqrt{3} \tan(t) - 1}\right)} dt $ $ así, $$I=\frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{(4)} dt - I$ $ $$I= \frac{\pi}{3 \sqrt{3} } \ln{2} $ $ y hemos terminados.