¿Qué significa esta afirmación de la teoría de los números?

Question

Recientemente he empezado a estudiar la teoría de los números por mi cuenta y estoy leyendo un libro sobre la teoría de los números. Hay una cosa que no entiendo, el enunciado de abajo:

Si $a,b \in \mathbb{Z}$ , entonces hay un $d \in \mathbb{Z}$ tal que $(a,b)=(d)$ .

Entiendo todo menos el $(a,b)=(d)$ . Sé que tiene que ver con la teoría de conjuntos probablemente, pero ¿qué? ¿Específicamente por qué d está entre paréntesis y un par es igual a una sola variable?

Answer 1

Notación. Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo y que $a_1,\ldots,a_n$ sean elementos de $R$ entonces el ideal generado por $a_1,\ldots,a_n$ se denota por $(a_1,\ldots,a_n)$ .

En su caso, $(a,b)=\mathbb{Z}a+\mathbb{Z}b$ y $(d)=\mathbb{Z}d$ .

Answer 2

Es la teoría de los anillos ideal lenguaje para $\,a\Bbb Z + b \Bbb Z = d\Bbb Z,\ $ es decir $\,|d| = \gcd(a,b).\ $

Answer 3

$(a,b)$ significa (en palabras sencillas) todo lo que se obtiene multiplicando y sumando lo que hay en $\mathbb{Z}$ . Más concretamente, es el ideal generado por $a$ y $b$ . De la misma manera, $(d)$ es generado por $d$ de una sola mano, es decir, sus múltiplos.

Dos elementos generan un ideal, que es "tan fino como" su gcd. De hecho, esto es lo que significa gcd: es la "malla más fina" que cubre su unión. El gcd es la "naturaleza común" de ellos, que también puede dar esta "malla unida". Por ejemplo, sumando y multiplicando lo que sea por 6 y 10, se obtienen todos los múltiplos de 2. Aquí, gcd(6,10)=2. Por eso gcd también se anota como (6,10).

Si quieres una prueba de esto, probablemente la encuentres en la sección que estás leyendo, no importa a qué libro te refieras. O tal vez quiera demostrarlo usted mismo.