El significado del valor imaginario del residuo al evaluar una integral real impropia

Question

Al evaluar la integral impropia $$\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}\sin\left(2x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx$$ (que es una función par, por lo que la mitad de los $(-\infty,\infty)$ integral), he utilizado la función $$\oint_{\gamma}\frac{iz^{3}e^{-2iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}\,dz,$$ sobre el semicírculo superior con el radio $r$ y luego volver a través de los reales utilizando el método de los residuos (y se aseguró de que cuando $r\to\infty$ la integral del semicírculo es $0$ ).

Lo he encontrado: $$\operatorname{Res}\left(\frac{iz^{3}e^{-2iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}},i\right)=\left.\frac{d}{dz}\left(\frac{iz^{3}e^{-2iz}}{\left(z+i\right)^{2}}\right)\right|_{z=i}=ie^{2}$$ lo que significa: $$\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}\sin\left(2x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{3}\sin\left(2x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\Re(ie^{2})=0.$$ Mientras evaluaba la integral, quería saber: ¿qué hace $\Im\left(\operatorname{Res}\left(f,i\right)\right)=e^2$ medio. Claramente no $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{3}\cos\left(2x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx$ ya que es una función impar, lo que significa que la integral es cero.

¿Me he equivocado en algo? Si no es así, ¿qué $e^2$ ¿quieres decir?

Answer 1

Cometiste dos errores, que juntos causaron el resultado sin sentido.

Has cerrado el contorno con el medio círculo equivocado. El integrando crece exponencialmente en ese semiplano; tienes que usar el semicírculo inferior. El residuo del polo en $-i$ es cero.

El otro error fue que omitiste el factor $2\pi\mathrm i$ al aplicar el teorema del residuo.

Answer 2

Has cometido dos errores.

En primer lugar, ya que $\lvert e^w\rvert = e^{\operatorname{Re} w}$ la función $z \mapsto e^{-2iz}$ crece exponencialmente a medida que $\operatorname{Im} z \to +\infty$ por lo que no se puede deducir que la integral sobre el semicírculo en el semiplano superior tiende a $0$ a medida que el radio del semicírculo tiende a $+\infty$ . Puede utilizar un semicírculo en el semiplano inferior, o puede utilizar $e^{2iz}$ .

Segundo, olvidaste el factor $2\pi i$ del teorema del residuo.

Si utilizamos el semicírculo en el semiplano superior, y

$$\int_0^{+\infty} \frac{x^3\sin (2x)}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^3 e^{2ix}}{i(x^2+1)^2}\,dx$$

por paridad y $e^{2ix} = \cos (2x) + i \sin (2x)$ , entonces encontramos

$$\int_0^{+\infty} \frac{x^3\sin (2x)}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{2\pi i}{2} \operatorname{Res}\biggl( \frac{z^3e^{2iz}}{i(z^2+1)^2}; i\biggr) = \pi \operatorname{Res}\biggl(\frac{z^3e^{2iz}}{(z^2+1)^2}; i\biggr).$$

Ahora, el residuo es $0$ Y sucedió que los efectos de tus errores se anularon y obtuviste el resultado correcto para tu integral, pero eso fue una coincidencia.

Si sólo hubieras cometido el primer error y no hubieras olvidado el factor $2\pi i$ entonces habrías obtenido

$$\pi i \operatorname{Res}\biggl(\frac{iz^3 e^{-2iz}}{(z^2+1)^2}; i\biggr) = -\pi e^2$$

como resultado (incorrecto). Es decir, como vemos ahora, sólo la mitad de

$$\lim_{r \to \infty} \int_{\substack{\lvert z\rvert = r \\ \operatorname{Im} z > 0}} \frac{iz^3e^{-2iz}}{(z^2+1)^2}\,dz.$$