Pruebalo $3x-x^3<\frac2{\sin2x}$

Question

Demostrar que %#% $ #%

Lo he probado por probar ese % $ $$3x-x^3<\frac2{\sin2x},\forall x\in\left(0,\frac\pi2\right)$con la desigualdad de Jensen, pero esperaba que este problema tendría una solución más simple.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\sin 2x\le1 \implies \frac{2}{\sin 2x}\ge 2$$

y

$$3x-x^3\le 2$$

Answer 2

Es de la gama de la función $f(x)=3x-x^3$ $x\in(0,\pi/2)$ $f(x)\in(0,2)$.

Para la función $g(x)=\dfrac2{\sin2x}$ $x\in(0,\pi/2)$ la gama es claramente $g(x)\in(2,\infty)$.

La desigualdad es bastante claro ahora.

Answer 3

Tomar el $f(x)=(3x-x^3)\sin(2x)$ $I=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. Es una función no negativa puesto que $\pi^2<12$. Ya en el mismo intervalo que $\sin(2x)\leq \frac{4}{\pi^2}(2x)(\pi-2x)$, basta probar que:

$$ \forall x\in I,\qquad x^2(3-x^2)(\pi-2x)\leq \frac{\pi^2}{4}. \tag{1}$ $ Por la diferenciación que podemos localizar el máximo absoluto de $g(x)=x^2(3-x^2)(\pi-2x)$ $I$ alrededor de $x=0.88552583$. En tal punto $g(x)$ trata de $2.38141<2.4674<\frac{\pi^2}{4}$, por lo que tiene de $(1)$.