Estrategia para determinar el número de homomorphisms entre dos grupos

Question

El Gallian Álgebra Abstracta texto tiene un número de ejercicios de la forma 'Determinar el número de homomorphisms entre dos grupos de $G$$H$'. Se señaló que, en el caso de un cíclico $G$, la determinación de la imagen de un generador de $G$ bajo un homomorphism $\phi$ es suficiente para especificar la totalidad de la asignación, ya que $\phi(g^n)=\phi(g)^n$ cualquier $g \in G$. Por lo tanto determinar el número de homomorphisms se simplifica a contar generadores de $H$ y la aplicación del Teorema de Lagrange. Hay otras propiedades útiles de homomorphisms que puede ser utilizado como trucos para este tipo de problema o simplemente las estrategias generales cuando se cuentan los mapas entre los $\textbf{non-cyclic groups}$? Dos ejemplos que veo en el texto de los ejercicios son:

(1): Determinar todos los homomorphisms de $S_3$ $G$donde $G$ es Abelian.

(2): Determinar el número de homomorphisms de $Z_p\oplus Z_p\to Z_p$ donde $p$ es el primer ($Z_p$ ser un subgrupo de la aditivo de los enteros).

Gracias de antemano!

Answer 1

En general, un grupo de homomorphism está determinado completamente por la imagen de un conjunto de generadores. Dado esto, si el codominio es finito, entonces esto pone un relativamente fácil de comprobar el límite superior en el número total de posibles homomorphisms. Por ejemplo, en tu segunda pregunta ejemplo, $\mathbb{Z}_p\oplus\mathbb{Z}_p$ es generado por los elementos de a$(0,1)$$(1,0)$, por lo que cualquier homomorphism está determinado por el lugar donde estos elementos son enviados (y deben ser enviados a los elementos de orden dividiendo $p$). No creo que bastante terminado de escribir toda la cuestión de la pregunta 2 por no mencionar un codominio para el conjunto de homomorphisms.

Para el primer ejemplo, tenga en cuenta que $S_n$ puede ser dado de presentación $$\langle \sigma_i\ldots,\sigma_{n-1}|\:\:\sigma_i^2=1,$$ $$\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i\:\:\:\mbox{ for }j\neq i\pm 1,$$ $$\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\rangle$$

Supongamos $h\colon S_n\rightarrow G$ es un homomorphism. A continuación, $h$ está determinado por la imagen de los generadores. Pero tenga en cuenta, $$h(\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i)=h(\sigma_i)h(\sigma_{i+1})h(\sigma_i)$$ $$=h(\sigma_i)h(\sigma_{i})h(\sigma_{i+1})=h(\sigma_i\sigma_{i})h(\sigma_{i+1})=h(1)h(\sigma_{i+1})=h(\sigma_{i+1})$$ y de manera similar a $h(\sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1})=h(\sigma_i)$. Pero $\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$, por lo que tenemos $h(\sigma_i)=h(\sigma_{i+1})$ todos los $i$. Por inducción de la imagen de todos los generadores es igual y por lo $h$ está determinado por la imagen de un solo generador. Dado que el $h(\sigma_i)$ tiene que ser un elemento de orden, división 2, esto reduce significativamente el posible homomorphisms.