Sí, lo es.
Aquí es un esquema. Hay muy pocos detalles para completar, sin embargo, por lo que puede que tenga que repasar el análisis funcional.
Lema 1. Si $(\Omega,\mu)$ es cualquier medir el espacio, y $H$ es cualquier espacio de Hilbert separable, vamos a $L^2(\Omega, \mu; H)$ ser el espacio de Borel medible funciones de $f : \Omega \to H$ tal que $\|f\|^2_{L^2(\Omega,\mu;H)} := \int_\Omega \|f(\omega)\|_H^2\,\mu(d\omega) < \infty$, equipado con el producto interior $\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega,\mu;H)} = \int_\Omega \langle f(\omega), g(\omega) \rangle_H \mu(d\omega)$. (Como de costumbre, identificar las funciones que son casi igual en todas partes.) Este es un espacio de Hilbert.
La única parte difícil es la integridad, y la prueba es prácticamente la misma que la prueba que el común de los $L^2$ espacios están completas. Tomar una secuencia de Cauchy $\{f_n\}$ y pasar a una larga $\{f_{n_k}\}$, de modo que $\|f_{n_k} - f_{n_{k+1}}\|_{L^2(\Omega,\mu;H)}^2 < 2^{-k}$. El uso de un Borel-Cantelli argumento para demostrar que $\{f_{n_k}(\omega)\}$ es una secuencia de Cauchy en $H$ para casi todas las $\omega$. Por la integridad de $H$, $\{f_{n_k}\}$ converge en casi todas partes; llamar al límite de $f$. A continuación, utilice la desigualdad de triángulo para mostrar que, de hecho, $f_n \to f$ $L^2(\Omega,\mu;H)$- norma.
Ahora tome $H$ a ser el espacio de Hilbert de todas las secuencias de $\{a_i\}$$\sum_i \beta^i a_i^2 < \infty$. (Este es un espacio de Hilbert porque es $L^2(\mathbb{N}, \nu)$ donde $\nu$ es la medida en $\mathbb{N}$ tal que $\nu(A) = \sum_{i \in A} \beta^i$.) Tome $(\Omega, \mu)$ a la probabilidad de espacio $(\Omega, \mathbb{P})$ en que tu variables aleatorias $\varepsilon_t$ están definidos. A continuación, tenga en cuenta que todas sus funciones $x \in P$ pueden ser vistos como elementos de $L^2(\Omega,\mathbb{P};H)$. (Hay un poco de trabajo que hacer para verificar que correspondan a la medibles funciones de $\Omega$ a $H$, con respecto a la Borel $\sigma$-álgebra en $H$.)
Así que tenemos $P$ identificado como un lineal subespacio del espacio de Hilbert $L^2(\Omega,\mathbb{P}; H)$. Ahora tenemos que demostrar que está cerrado.
Aquí hay un par de lemas:
Lema 2. Si $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad y $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ es un sub-$\sigma$-campo, consideremos el subespacio $L^2(\Omega, \mathcal{G},\mathbb{P}) \subset L^2(\Omega,\mathbb{P})$ que consta de todos los $L^2$ (real valorados) variables aleatorias que se $\mathcal{G}$-medible. Es un subespacio cerrado.
Prueba de dibujo. Dada una secuencia $X_n$ $L^2(\Omega, \mathcal{G}, \mathbb{P})$ convergentes en $L^2$ algunos $X \in L^2(\Omega, \mathbb{P})$, pasan a la larga, de modo que la convergencia es casi seguro. Casi seguro de convergencia conserva la mensurabilidad, lo que en realidad $X$ $\mathcal{G}$- medible.
Lema 3. (Doob-Dynkin lema) Deje $\mathcal{G}_n = \sigma(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)$. Un valor real variable aleatoria $X$ $\mathcal{G}_n$medible iff existe una Borel función de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que $X = f(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)$.
Prueba de dibujo. Una dirección es inmediata. En el otro sentido, primero considere el caso de $X = 1_A$ donde $A \in \mathcal{G}_n$. A continuación, considere la posibilidad de funciones simples, medible no negativa funciones, etc. Este lema se puede encontrar en la mayoría de los libros de texto.
Ahora, para cada una de las $t$, considerar el mapa de $\pi_t : L^2(\Omega,\mathbb{P};H) \to L^2(\Omega,\mathbb{P})$ definido por $\pi_t(x) = x^t$, es decir, recoge los $t$ coordenadas de $x$. Compruebe que $\pi_t$ es un delimitada operador lineal, por lo tanto continua. Por lo $E_t := \pi_t^{-1}(L^2(\Omega, \mathbb{G}_t, \mathbb{P}))$ es un subespacio cerrado de $L^2(\Omega, \mathbb{P}; H)$. Este es el espacio de la $x$ tal que $x^t$ $\mathcal{G}_t$medible, que por Doob-Dynkin significa que es una función de $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_t)$.
Por último, compruebe que $P = \bigcap_{t=1}^\infty E_t$. De la intersección de conjuntos cerrados es cerrado.
Después de haber escrito esto, creo que es en realidad un exceso; se podría aplicar el "integridad de $L^2$" argumento para demostrar directamente que $P$ es completa. Usted todavía necesita algo como Doob-Dynkin para demostrar que el límite de $x$ de su un.s.-la convergencia de larga está todavía en $P$, es decir, que $x^t$ todavía puede ser escrita como una función de la $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_t)$. Bueno, esto se lo dejo a alguien más para llenar de si les gustaría.
