Su objetivo es resolver $Ax=b$ sujeto a la restricción $||x||=1$ . Una forma de hacerlo es reconocer que la solución a $Ax=b$ es un espacio afín (subespacio trasladado). Esto significa que de todas las soluciones de $Ax=b$ existe una única "más pequeña", es decir, donde $||x||$ sea lo más pequeño posible. Para encontrar esta solución, se puede resolver el problema de optimización mínimo-norma, cuya solución es: $$ x_0 = \lim_{\lambda \to 0^+} (A^TA+\lambda I)^{-1}A^Tb $$ En caso de que $A$ es delgado y de rango completo, esto se simplifica a $(A^TA)^{-1}A^Tb$ . En general, la solución puede encontrarse tomando la SVD de $A$ .
Una vez que haya comprobado que $x_0$ es efectivamente una solución, lo siguiente que hay que hacer es comprobar que $||x_0|| \leq 1$ porque si no fuera así, se podría afirmar con seguridad que no hay solución para $Ax=b$ con norma 1.
El siguiente paso es encontrar una base para el espacio nulo de $A$ es decir, el conjunto de vectores $x$ tal que $Ax=0$ . Esto puede hacerse utilizando de nuevo la SVD. Si $N$ es una matriz cuyas columnas forman una base para el espacio nulo de $A$ entonces el conjunto de todas las soluciones de $Ax=b$ es: $$ x = x_0 + Ny $$ donde $y$ es un vector arbitrario de dimensión adecuada. El punto clave aquí es que $x_0$ es ortogonal a todos los vectores del espacio nulo de $A$ (porque $x_0$ es el punto de solución más cercano al origen). Así, se puede calcular la norma de $x$ utilizando el teorema de Pitágoras: $$ ||x||^2 = ||x_0||^2 + ||Ny||^2 $$ Ahora vemos que el si queremos $||x||=1$ sólo tenemos que elegir $y$ para que $$ ||Ny|| = \sqrt{1 - ||x_0||^2} $$ Siempre podemos elegir las columnas de $N$ para ser ortonormal, así que vamos a suponer que hemos hecho eso. Entonces el conjunto de $y$ es precisamente la esfera de radio $\sqrt{1 - ||x_0||^2}$ . Al elegir cualquier $y$ en esta esfera, parametrizamos todas las soluciones a su problema. Si sólo te interesa una solución concreta, puedes elegir $y$ de la forma $[\alpha,0,...,0]$ donde $\alpha = \sqrt{1 - ||x_0||^2}$ .f
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Sugerencia: Si tiene $n$ conjuntos de medidas, entonces tiene $\binom{n}{3}=% \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}$ maneras de elegir $3$ de ellas y para cada una resolver el correspondiente sistema de ecuaciones lineales $AX=B$ . Podría determinar $% X^{\ast }=(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })$ para que $\left\vert 1-\left( x^{\ast }\right) ^{2}-\left( y^{\ast }\right) ^{2}-\left( z^{\ast }\right) ^{2}\right\vert $ es mínimo. Finalmente se calcularía $X^{\ast \ast }=(x^{\ast \ast },y^{\ast \ast },z^{\ast \ast })=\frac{X^{\ast }}{\left\vert X^{\ast }\right\vert }$ .