Probabilidad e infinito

Question

Si la probabilidad de un evento es $\frac{1}{\infty}$ y $\infty$ ensayos se llevan a cabo, ¿cuántas veces el evento ocurrirá - $0$, $1$, $\infty$?

Answer 1

Hay maneras significativas a cabo el trabajo de probabilidades en espacios infinitos, pero su pregunta no está bien definida. Podríamos definir situaciones que coincidan con su pregunta con la respuesta 0, 1, $\infty$, o cualquier otro finito respuesta.

Distribuciones de probabilidad sobre conjuntos finitos son bastante fáciles de escribir y trabajar. Para tirar un solo dado, la distribución de probabilidad es {p(1)=1/6, p(2)=1/6, p(3)=1/6, p(4)=1/6, p(5)=1/6, p(6)=1/6}. A partir de esto, podemos preguntar y responder a muchas preguntas diferentes, por ejemplo, la probabilidad de sacar un 3 tres veces en una fila es 1/216. Sin embargo, la probabilidad de sacar un 7, 0; y no importa cómo muchas veces usted roll, nunca vas a conseguir un 7.

Distribuciones de probabilidad en conjuntos infinitos requieren mucho más de fondo para definir y trabajar con. Usted necesita una probabilidad de medir y se puede calcular integrales para encontrar las probabilidades. (Teoría de la medida es generalmente de un nivel de posgrado tema, y que requiere de mucho cuidado, el pensamiento abstracto para obtener los detalles recto.)

Una instructiva y divertida problema para leer acerca de la Caminata Aleatoria. Supongamos que me inicio en (0,0) en un infinito de 2 dimensiones de la cuadrícula; y cada segundo, me voy arriba, abajo, a la izquierda o a la derecha una unidad. (Cada dirección tiene probabilidad de 1/4 cada segundo). La probabilidad de que el espacio es el conjunto de todos los posibles paseos, que es un conjunto infinito. La probabilidad de medir en este espacio se determina por el hecho de que cada dirección tiene la misma probabilidad a cada segundo.

A pesar de que hay muchos paseos en la probabilidad de espacio que nunca volver a (0,0), el subconjunto de los paseos que hacer volver a (0,0) tiene una medida de 1. Esto implica que en una de 2 dimensiones de paseo aleatorio, se espera que el número de devoluciones a (0,0) es infinito. Sin embargo, el número esperado de veces que me tome un paso en diagonal es 0 (porque, por mi definición del problema, nunca sucede).

También podemos considerar a las 3 dimensiones de la caminata aleatoria. Curiosamente, en las 3 dimensiones de paseo aleatorio, se espera que el número de devoluciones a (0,0,0) es de alrededor de 0.516385. (Usted puede pensar en esto como el número promedio de devoluciones si usted muestra muchos 3-dimensional paseo aleatorio.)

Estos resultados requiere un poco de trabajo para obtener, y usted siempre tiene que empezar con un definido con precisión el problema. Si usted piensa acerca de ellos y leer otros ejemplos en sus el propios, se debe ayudar a obtener una comprensión de los infinitos espacios de probabilidad, probabilidad de 0 eventos, y la probabilidad de eventos 1.

Answer 2

Aquí es una respuesta posible. Dicen que cada evento ocurre con probabilidad $\varepsilon>0$ y $1/\varepsilon$ total eventos. Tomando el límite como $\varepsilon\to0^+$, se produce el evento 0 veces con probabilidad $1/e\approx36.8\%$, una vez con probabilidad $1/e\approx36.8\%$, dos veces con probabilidad $1/2e\approx18.4\%$, tres veces con probabilidad $1/6e\approx6.13\%$, y así sucesivamente: la distribución de Poisson con $\lambda=1$.

Answer 3

Lo siento byoogle, me malinterprete, el punto de tu pregunta. Así que ahora me siento obligado a tratar de responder. No sé mucho acerca de la probabilidad, pero por casualidad me topé con algo hoy que puede ser interesante para usted.

Voy a tratar de encuadrar una pregunta que creo que está cerca de lo que están pidiendo, y también es respondida por este bonito una página de papel que he encontrado.

Así que estoy buscando a $x \in [0,1]$, y cada "instante" I "buscar", se selecciona un conjunto de $A_\alpha \subset [0,1]$. Por desgracia, la probabilidad de que $x \in A_\alpha$ siempre $0$. Pero, tengo al menos esta: mi set de instante en $\alpha$ incluye a todos los anteriores que he seleccionado. Parece poco consuelo, sin embargo, porque en cualquier $\alpha$ la probabilidad de que he a $x \in A_\alpha$ todavía es 0.

Así que, si me permite ir en busca indefinidamente, es la probabilidad de que $x$ es "encontrado" cero? Pues bien, parece que la probabilidad de que de hecho puede ser 1, si elegimos bien. Al menos así es como yo interpreto esto: http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/rapidito.pdf
Cuando usted lee, usted puede leer "medida cero" o "insignificante" como la "probabilidad cero".

Hay una buena posibilidad de que mi analogía se rompe, y es de esperar que se señaló si ese es el caso. Nuestro "instantes" no pueden ser contables, en otras palabras, tenemos que estar continuamente buscando, en lugar de sólo mirar cada microsegundo o menos. También, mi analogía parece estar usando el orden en los números reales, y tal vez esa es una lógica de tropezar.

Espero que le ayude, o al menos es divertido.