La topología es una rama de las matemáticas que estudia el comportamiento topológico de los conjuntos de puntos. Haré una analogía con la geometría. En geometría, consideramos que dos triángulos son esencialmente iguales, y que tienen las mismas propiedades geométricas, una vez que conocemos las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos. Nos no se preocupan por los colores que tienen o por el material del que están hechos. no son propiedades geométricas. Dos triángulos se consideran geométricamente equivalentes ("congruentes") si tienen el mismo tamaño y la misma forma, y si podemos superponer uno sobre el otro moviéndolo rígidamente en el espacio.
En topología, no nos importa el tamaño y la forma, sino una cierta propiedad más abstracta y general que es algo así como la forma en que la figura está conectada a sí misma. Dos objetos se consideran topológicamente equivalentes si uno de ellos se puede doblar, estirar o apretar hasta que se parezca al otro, pero no se permite romperlo. Todos los triángulos son topológicamente equivalentes, y todos los segmentos de línea son topológicamente equivalentes, pero los triángulos no son equivalentes a los segmentos de línea, ya que para convertir un triángulo en un segmento de línea hay que hacerle un agujero. El famoso refrán dice que en topología un donut y una taza de café son lo mismo: se puede poner una abolladura en el donut, y luego ampliar la abolladura en el recipiente de la taza, mientras que el agujero del donut se encoge para convertirse en el agujero del asa de la taza. Pero no hay manera de convertir una esfera en una taza, porque habría que hacer un agujero en la esfera para hacer el asa.
Topología algebraica es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras topológicas mediante su transformación en estructuras algebraicas. La topología algebraica se ocupa de ciertas funciones especiales, llamadas "funtores", que toman un objeto topológico, como un círculo o una esfera, y lo convierten en una estructura algebraica, como el conjunto de los números enteros bajo la operación de adición, o el número 0 bajo la operación de adición, de tal manera que si dos objetos topológicos se convierten en objetos algebraicos diferentes se puede estar seguro de que los dos objetos topológicos eran diferentes al principio. Por lo general, las estructuras algebraicas son más fáciles de razonar que las topológicas, razón por la que estudiamos la topología algebraica en primer lugar.
Los grupos abelianos son ejemplos de estructuras algebraicas. Un grupo es un conjunto, como los enteros pares, junto con una operación binaria sobre el conjunto, como la suma. La operación debe satisfacer ciertas propiedades. Por ejemplo, debe ser asociativa, lo que significa que a+(b+c)=(a+b)+c para cada elemento a,b,c del conjunto. Si la operación es también conmutativo lo que significa que a+b=b+a para todos a,b , entonces el grupo es un grupo abeliano.
La frase "la topología algebraica nunca puede tener un conjunto no autocontradictorio de grupos abelianos" es una tontería.
