¿Demuestra que dos grupos cíclicos cualesquiera del mismo orden son isomorfos?

Question

Demuestra que dos grupos cíclicos cualesquiera del mismo orden son isomorfos.

Que los grupos sean $G,H$ con orden $k$ . Dejemos que $G=<a>$ y $H=<b>$ . Por lo tanto, tenemos $|a|=|b|=k$ y por definición, $G=\{a^0,a^1,...,a^{k-1}\}$ y $H=\{b^0,b^1,...,b^{k-1}\}$ . A continuación configuré la biyección $\theta : G \rightarrow H: \theta(a^n)=b^n$ . Creo que debería proceder mostrando $\theta$ es un isomorfismo pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Cuál es una buena manera de mostrar $\theta$ es un isomorfismo?

Answer 1

No quiero quitarle mérito a las otras respuestas, pero aquí hay una prueba más abstracta que prefiero:

Si $G$ es un grupo cíclico con generador $g$ entonces existe un homomorfismo suryecto $(\mathbb{Z},+)\to G$ enviando $1$ a $g$ .

Por el Primer Teorema de Isomorfismo, $G\cong\mathbb{Z}/H$ , donde $H$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}$ . Pero podemos clasificar los subgrupos de $\mathbb{Z}$ como $0\mathbb{Z},1\mathbb{Z},2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},\ldots$ .

Dado que el cociente $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tiene orden $n$ si $n\neq 0$ y el orden $\infty$ si $n=0$ El orden de $G$ determina de forma única su clase de isomorfismo.

En otras palabras, si $|G|=n$ es finito, entonces $G\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Si $|G|$ es infinito, entonces $G\cong\mathbb{Z}$ .

Answer 2

SUGERENCIA: En primer lugar, se demuestra que $\varphi (a^n) = b^n$ para todos $n \in \mathbb{Z}$ .

Después de eso, puede demostrar que $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$ para todos $x$ , $y \in G$ .

Answer 3

Recuerda que necesitas demostrar tres cosas: inyectividad, subjetividad y la propiedad de homomorfismo. La inyectividad se deduce del hecho de que $\theta(a^i) = \theta(a^j)$ lo que significa que $b^i = b^j$ y podemos reducirlos a $\tilde{i} \equiv i \mod k$ y $\tilde{j} \equiv j \mod k$ Así que $b^{\tilde{i}} = b^{\tilde{j}}$ pero esto sólo ocurre si $\tilde{i} = \tilde{j}$ lo que significa que $a^{\tilde{i}} = a^i = a^j = a^{\tilde{j}}$ . La subjetividad debería ser más fácil de demostrar.

La propiedad de homomorfismo debería ser más fácil ya que cualquier elemento de $G$ se puede escribir $a^{i+j}$ tenemos

$$ \theta(a^{i+j}) \;\; =\;\; b^{i+j} = b^i b^j \;\; =\;\; \theta(a^i) \theta(a^j). $$