Cuál de los siguientes subconjuntos de $M_n(\mathbb{R})$ son compactas (NBHM)

Question

La siguiente es una lista de problemas a partir de un examen de admisión al Tel. D programa. Yo sólo he recopilado todas las preguntas anteriores de la compacidad de ciertos subconjuntos de matrices y traté de trabajar . Yo estaría muy agradecido si alguien puede comprobar las soluciones y por favor, sugiera si hay alguna forma mejor de hacer y si la solución es incorrecta, por favor hágamelo saber qué se podía hacer por ellos.

1. $\{ A\in M_n(\mathbb{R}) : \text { A is real symmetric Matrix with eigenvalues $|\lambda|\leq 2$}\}$
   
   Solución: Podemos ver que cualquier real simétrica la matriz es diagonalizable. Así que, yo creo que cada elemento en $S$ es similar al $\begin{bmatrix} a& 0\\0&b\end{bmatrix}$ donde$|a|\leq 2, |b|\leq 2$, en cuyo caso tenemos acotamiento. Yo no estoy tan seguro acerca de la closedness creo que está cerrado a pesar de que no puedo escribir en detalle.

2. $\{ A\in M_n(\mathbb{R}) : \text { A is diagonalizable Matrix with eigenvalues $|\lambda|\leq 2$}\}$
   
   Solución: vemos que esto es igual que el anterior conjunto de $S$, por lo que debe ser compacto.

3. $\{\text {unitary matrices in $M_2(\mathbb{C}$)}\}$
   
   Solución: Mi justificación para que esto no tiene sentido.. me gustaría editar esta vez tengo algo de idea clara..

4. $\{ A\in M_n(\mathbb{R}) : \text { det (A)} =1\}$
   
   Solución: podemos considerar $\begin{bmatrix} 1& n\\0&1\end{bmatrix}$ a ser en conjunto y $n$ puede ser tan grande como yo quiero.. por lo que este conjunto no está delimitado por lo que no es compacto.

5. $\{\text {Trace (A) : $\En M_n(\mathbb{R})$ is orthogonal}\}\subset \mathbb{R}$
   
   Solución: no tengo idea. única cosa que pude ver es que el factor determinante es $\pm 1$ pero no veo ninguna de las propiedades con respecto a la Traza.

6. $\{ A\in M_n(\mathbb{R}) : \text { A is invertible diagonal Matrix}\}$
   
   Solución: podemos considerar $\begin{bmatrix} n& 0\\0&n\end{bmatrix}$ $n\neq 0$a ser en conjunto y $n$ puede ser tan grande como yo quiero.. por lo que este conjunto no está delimitado por lo que no es compacto.

7. $\{ A\in M_n(\mathbb{R}) : \text { A is upper triangular Matrix}\}$
   
   Solución: podemos considerar $\begin{bmatrix} 1& n\\0&1\end{bmatrix}$ a ser en conjunto y $n$ puede ser tan grande como yo quiero.. por lo que este conjunto no está delimitado por lo que no es compacto.

Gracias por sustitución de su valioso tiempo en la comprobación de mis soluciones. Una vez que alguien confirme que todo está bien y no hay modificaciones necesarias quisiera eliminar esta pregunta, así que por favor, puesto que sólo los comentarios (a menos que usted cree que es tan hermoso y vale la pena ser una respuesta :)).

Gracias :)

Answer 1

Su argumento se ve bien me $7,6,4,1,2$

$5$. Mira $O(n,\mathbb{R})$ es compacto en $M_n(\mathbb{R})$, $Trace:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ es un mapa linear tan continuo mapa, imagen de compacto bajo continua mapa es compacto.

$3$. $UU^*=U^*U=I\Rightarrow \|Ux\|=\|x\|$, por lo que el conjunto de todas las matrices unitarias son limitadas.

ahora $U\to U,U\to U^*$ son continua y así $f:U\to UU^*$ continuo de $M_n(\mathbb{C})\to$ sí mismo. $U(n,\mathbb{C})=f^{-1}(I)$ tan cerrados también.

Answer 2

Un par de comentarios:

(2) La matriz de $\begin{bmatrix}a & 0 \\ 0 & a\end{bmatrix}$ es positivo semidefinite si y sólo si $a\geq 0$ (escribir $a\in\mathbb{R}$). Además, este conjunto es cerrado. En particular, una matriz $$ \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} $$ es positivo semidefinite si y sólo si a es simétrica y no tiene autovalores negativos. Podemos comprobar que tanto los autovalores son no negativos mediante la comprobación de que la traza y el determinante ambos son no negativos. Por lo tanto, la de arriba de la matriz es positiva semidefinite si y sólo si satisface las ecuaciones $$ b=c,\qquad a+d\geq 0,\qquad ad-bc\geq 0. $$

(5) Una matriz en este conjunto no tiene que ser similar a $\begin{bmatrix}a & 0 \\ 0 & a\end{bmatrix}$, ya que los dos autovalores no tiene que ser el mismo. En cualquier caso, la delimitación de la autovalores no es necesariamente suficiente para la delimitación de la matriz.

(7) Este argumento no es correcto. La matriz $\begin{bmatrix}1 & n \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ es unitaria si y sólo si $n=0$.

(Pista 9) ¿Qué sabe usted acerca de los valores propios de una matriz ortogonal?

Answer 3

No creo que el sistema de $6$ es el mismo que el conjunto de $5$. Una matriz simétrica es diagonalizable por una matriz ortonormal, esto es una condición más fuerte a ser diagonalizable. Para una matriz de $2\times 2$, tomar la matriz $$\begin{bmatrix}0& 1 \\ 1& b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1& 0\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \\ 1& b\end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix}0& 1 \\ 1& b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1& 0\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-b& 1 \\ 1& 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2& 0 \\ b& 1\end{bmatrix}$ $ y $b$ a ser tan grande como quieras.

$7$, El % de matriz $U=\begin{bmatrix} 1& n\\0&1\end{bmatrix}$no es unitario. $UU^*=\begin{bmatrix} 1+n^2& n\\n&1\end{bmatrix}\neq I$

$9$, Si $A$ es ortogonal, sus columnas todos tienen la norma de $1$, por lo tanto debes fronteridad

Answer 4

sus 2 ans está mal... porque se puede tomar la matriz triangular superior con diferentes entradas en la diagonal, entonces es diagonalizable pero no está limitado si usted toma uno de entrada no diagonal d grande