Espacios de Hilbert isomorfos

Question

Como parte de una prueba más amplia, que necesito para mostrar que cada dos espacios de Hilbert separables (que contiene un denso conjunto contable) son isomorfos (el mapeo lineal de un espacio a otro es inyectivo e isométrica si digo derecha).

Estaría encantado de recibir cualquier ayuda en esto.

Answer 1

Es cierto si suponemos que el espacio de infinitas dimensiones. Considere la posibilidad de $H_1$ $H_2$ dos de infinitas dimensiones separables de Hilbert espacios, decir $\Bbb C$. Si $(d_n,n\in\Bbb N)$ es una contables subconjunto denso de $H_1$, el uso de Gramm-Schmidt orthonormalization, podemos encontrar una base de Hilbert $(v_n,n\in\Bbb N)$$H_1$, es decir, un ortonormales de la familia, cuyo lapso es denso en $H_1$. Al igual, vamos a $(w_n,n\in\Bbb N)$ una base de Hilbert $H_2$. Definimos $$T\colon H_1\to H_2,\quad T\left(\sum_{j=0}^{+\infty}a_jv_j\right)=\sum_{j=0}^{+\infty}a_jw_j,$$ donde $(a_j,j\in\Bbb N)$ es una secuencia de números reales, cuyo todas pero un número finito de términos se $0$. Esto es en realidad definida sólo en el lineal útil de la secuencia de $(v_j,j\in\Bbb N)$, pero podemos ver que $T$ es una isometría, por lo que puede ser extendida a todo el espacio, siendo todavía una isometría.