En primer lugar, por la fuerte ley de la gran cantidad, el límite debe existir.
Considere la posibilidad de $$\theta_k = \inf\{t\geq \theta_{k-1}, |W_t- W_{\theta_{k-1}}| = \pi\}, \theta_0 = 0$$
Entonces la integral se puede escribir como la suma de $\int_{\theta_{k}}^{\theta_{k+1}}\sin^2(W_s)ds$, tenemos
\begin{align}
\frac{1}{t}\int_0^t \sin^2(W_s)ds = \dfrac{\sum_{k=1}^{+\infty}1_{\theta_k < t}}{t} \dfrac{\sum_{k=0}^{+\infty}\int_{\theta_{k}}^{\theta_{k+1}}\sin^2(W_s)ds1_{\theta_{k+1} < t} + \int_{\theta_{k+1}}^t \sin^2(W_s)ds1_{\theta_{k+1} < t \leq \theta_{k+2}} }{\sum_{k=1}^{+\infty}1_{\theta_k < t}}
\end{align}
La observación de que $$\dfrac{\sum_{k=0}^{+\infty}\int_{\theta_{k}}^{\theta_{k+1}}\sin^2(W_s)ds1_{\theta_{k+1} < t} + \int_{\theta_{k+1}}^t \sin^2(W_s)ds1_{\theta_{k+1} < t \leq \theta_{k+2}} }{\sum_{k=1}^{+\infty}1_{\theta_k < t}}\to E\int_0^{\theta_1}\sin^2(W_s)ds$$ alomst surely by the strong law of large number because $\int_{\theta_{k}}^{\theta_{k+1}}\sin^2(W_s)ds$'s son i.yo.d.
Y que $$\dfrac{\sum_{k=1}^{+\infty}1_{\theta_k < t}}{t} \to \dfrac{1}{E(\theta_1)}$$ alomost sutrly(Imagine a Poisson process which jumps once a new $\theta_k$)
Por lo que el límite es igual a $\dfrac{E\int_0^{\theta_1}\sin^2(W_s)ds}{E(\theta_1)}$. Para calcular esto, que $$I_1 = \frac{1}{t}\int_0^t \sin^2(W_s)ds$$ $$I_2 = \frac{1}{t}\int_0^t \cos^2(W_s)ds$$ then we have $I_1 + I_2 = 1$.
Intuitivamente, cuando $t\to \infty$, el límite de $I_1$ $I_2$ debe ser el mismo, ya que $\sin^2 x$ es sólo $\cos^2 x$ retrasado por $\frac{\pi}{2}$, con lo que conseguimos $M = \frac{1}{2}$.
Para demostrarlo rigurosamente, vamos a $\tau = \inf\{t \geq 0, W_t = \frac{\pi}{2}\}$, luego
\begin{align}
I_2 &= \frac{1}{t} \left(\int_0^\tau \cos^2(W_s)ds + \int_{\tau}^t\cos^2(W_s)ds\right) \\
& = \frac{1}{t} \left(\int_0^\tau \cos^2(W_s)ds + \int_{\tau}^t\sin^2(W_s - \frac{\pi}{2})ds\right)
\end{align}
Desde $\tau$ es finito, casi con toda seguridad: $$\lim I_2 = \lim \frac{1}{t} \int_{\tau}^t\sin^2(W_s - \frac{\pi}{2})ds = \lim \frac{1}{t} \int_{0}^{t-\tau}\sin^2(W_s')ds = \lim I_1$$
donde $W_s' = W_{s+ \tau} - \frac{\pi}{2}$
Por lo que el límite de $I_1$ $I_2$ son iguales a $\frac{1}{2}$
Una vez que la primera parte está terminado, podemos darnos cuenta de que podemos tratar el problema como un proceso de renovación, que salta de un nuevo $\theta_k$ es alcanzado y con el salto de tamaño de $\int_{\theta_{k-1}}^{\theta_k}\sin^2(W_s)ds$. Por lo tanto podemos aplicar el teorema del límite central para el proceso de renovación para resolver la segunda pregunta.
