¿Por qué la suma de racionales no es un isomorfismo de la multiplicación de racionales?

Question

La pregunta dice: Recordemos los grupos aditivos Z,Q y R, y los grupos multiplicativos Q* y R* de números distintos de cero. demuestre que:

(b) Q no es isomorfo a Q*

(c) R no es isomorfo a R*

Puedo ver por qué no habría una biyección si se restringiera sólo a los números positivos, pero no veo un ejemplo de por qué no son isomorfismos

Answer 1

En el grupo de los racionales no nulos con respecto a la multiplicación existe un elemento que es su propio inverso, a saber $-1$ . Pero no existe tal elemento en el grupo de los racionales con respecto a la adición. Tales elementos deben ser preservados por cualquier isomorfismo.

Answer 2

Esto se puede hacer por contradicción. Supongamos que $(\Bbb Q, +)$ y $(\Bbb Q^*, \cdot)$ son isomorfos. Entonces existe un isomorfismo $\varphi: (\Bbb Q, +) \to (\Bbb Q^*, \cdot)$ . Desde $\varphi$ tiene que ser sobreyectiva, existe un $q \in \Bbb Q$ , de tal manera que $\varphi(q) = -1$ . Ahora calculamos utilizando las propiedades de homomorfismo de $\varphi$ $$ -1 = \varphi(q) = \varphi\left( \frac q 2 + \frac q 2 \right) = \varphi\left( \frac q 2 \right) \varphi\left( \frac q 2 \right) = \left[ \varphi\left( \frac q 2 \right) \right]^2 \; ,$$ lo cual es una contradicción, ya que no hay ningún elemento $p \in \Bbb Q^*$ , de tal manera que $p^2 = -1$ .

Se puede utilizar la misma argumentación para demostrar que $(\Bbb R, +)$ y $(\Bbb R^*, \cdot)$ no son isomorfas.

Answer 3

Utilizando el morfismo $$\mathrm{sign} : x \mapsto \left\{ \begin{array}{cl} +1 & \text{if} \ x >0 \\ -1 & \text{if} \ x<0 \end{array} \right.,$$ puedes notar que $\mathbb{Q}^*$ (o $\mathbb{R}^*$ ) tiene un cociente finito, a saber $\mathbb{Z}_2$ .

Por otro lado, $\mathbb{Q}$ (o $\mathbb{R}$ ) no tiene ningún cociente finito no trivial. En efecto, para cualquier epimorfismo $\varphi : \mathbb{Q}\twoheadrightarrow F$ en un grupo finito $F$ , digamos que de orden $n$ tenemos

$$\varphi(q)= \varphi \left( n \frac{q}{n} \right)=n \cdot \varphi \left( \frac{q}{n} \right)=1.$$

Por lo tanto, $\varphi$ es trivial, y porque $\varphi$ está en, $F$ tiene que ser trivial.

Este argumento proviene de un resultado más general: un grupo divisible no tiene un cociente finito no trivial. De hecho, el cociente de un grupo divisible tiene que ser él mismo divisible.