Este tipo de cosas por lo general se calcula utilizando lineal de la estabilidad de la teoría. Esencialmente reemplaza un conjunto de ecuaciones no lineales con lineares que se aproximan a ellos en la región del punto fijo. El resultado es un conjunto de dinámicas ecuaciones de la forma
$$
\mathbf{\dot y} = J \mathbf{y}, \etiqueta{1}
$$
donde $x_1 = s-\tilde s$, $y_2 = x - \tilde y$, y $J$ es la matriz Jacobiana del sistema original, dada por
$$
J = \left( \begin{array}{cc}
\frac{\partial \dot s}{\partial s} & \frac{\partial \dot s}{\partial x} \\
\frac{\partial \dot x}{\partial s} & \frac{\partial \dot x}{\partial x}
\end{array}\right).
$$
Espero que me perdones por no trabajar a través del álgebra, pero esto debe ser un asunto simple para calcular los componentes de $J$ en términos de$x$$s$.
El punto de esto es que la estabilidad y el tiempo de retorno de un sistema lineal se puede calcular fácilmente mediante el examen de los autovalores de a $J$. Si algún autovalor tiene un real positivo componente, a continuación, en el punto fijo será inestable, pero en tu caso (siempre y cuando los parámetros son sensibles) todos ellos tienen partes reales negativas.
Ahora, las soluciones a la ecuación de $(1)$ tienen la forma
$$
\mathbf{y}(t) = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{\lambda_j t},
$$
donde e $\lambda_j$ $\mathbf{v}_j$ son los autovalores y autovectores de a $J$, respectivamente, y las constantes $A_j$ están determinados por las condiciones iniciales. El $\lambda_j$ a veces puede ser complejo, y si las expresamos en la forma $\lambda_j = r_j + i\omega_j$ la convierte en una solución
$$
\mathbf{y}(t) = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{r_j t} e^{i\omega_j t} = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{r_j t} (\cos \omega_j t + i\sin \omega_j t).
$$
Complejo de autovalores siempre vienen en el conjugado de parejas, por lo que el $i\sin\omega_j t$ términos se anulan.
Nos quedamos con una suma de manera exponencial en descomposición (ya que cada una de las $r_j$ es negativo) y, posiblemente, oscilando las trayectorias. Aquellos con menor $r_j$'s se descompone más rápidamente, de modo que después de bastante tiempo de la trayectoria de estar dominada por un plazo que se desintegra como $e^{rt}$ donde $r$ es la parte real de la autovalor con la mayor parte real.
Por consiguiente, se puede decir que, si la perturbación es lo suficientemente pequeño, el original no lineal del sistema se descompone hacia el equilibrio con un tiempo característico dado por $-1/r$ donde $r=\max_j \{ \Re(\lambda_j) \}$. Esto es (aproximadamente) el tiempo para la distancia de equilibrio para caer a $1/e$ de su valor original, y es lo que usualmente citado como el tiempo de retorno.
Usted debe encontrar todos los anteriores en cualquier decente libro de texto sobre la teoría de los sistemas dinámicos. Dado que el sistema es de dos dimensiones se puede obtener una expresión analítica para $r$ por escribir el polinomio característico de a $J$ y el uso de la fórmula cuadrática para resolver. Si esto se traducirá en una bonita expresión, o no, no sé.
Ahora, hay un par de cosas a tener en cuenta. En primer lugar, se le preguntó acerca de un cambio en los parámetros más que una pequeña perturbación en el sistema. Sin embargo, si el cambio en los parámetros es pequeña, esto no hace ninguna diferencia: el estado estacionario de la configuración del viejo sistema puede ser visto como una perturbación del estado estacionario de la configuración del nuevo sistema, y todo sigue como en el anterior. (Sólo asegúrese de usar los nuevos valores de $D$ $Y$ a la hora de calcular los autovalores de a $J$.)
La otra cosa es que esta teoría no es necesariamente muy precisa si la perturbación (o cambio de los parámetros) es grande. Sin embargo, su sistema no es masivamente no lineal, así que yo esperaría a ser una buena aproximación. Si usted está preocupado acerca de que, lo mejor es, probablemente, numéricamente de integrar el sistema con un par de diferentes valores de los parámetros y de verificación.
