Que $A$ ser un anillo comutativo unital y $M$ un $A$-módulo. Supongamos que $M\oplus A \cong A\oplus A$. ¿Entonces es $M\cong A$?
Que tanto $M\oplus A$ y $A\oplus A$ biproducto $(A, A)$ y $(M, A)$, tan realmente cortas secuencias exactas. Otro $A\oplus A$ es el módulo libre $A$ de la fila dos. Sin embargo no puedo concluir. Tal vez tengo que usar algunas cosas de la extensión de la teoría homológica o hay ejemplos contra evidentes que no soy capaz de descifrar.
Desde que usted escribió en un comentario que usted sabe acerca de tensor de los productos y de sus cocientes, aquí es una sugerencia. Oh, debo decir en primer lugar que creo que este es un gran problema (yo lo he utilizado yo para la enseñanza de un graduado del curso de algebra) porque es una sorprendente aplicación de álgebra multilineal cuando es difícil ver cómo empezar a usar más directa de herramientas, por lo que yo sé.
Sugerencia: Utilizar exterior de poderes, no hay una fórmula Kunneth $$ \Lambda^2(M_1 \oplus M_2) \cong \Lambda^2(M_1) \oplus (M_1 \otimes_A M_2) \oplus \Lambda^2(M_2) $$ para cualquiera de los dos $A$-módulos de $M_1$$M_2$. (Con la correspondiente fórmula para el más exterior de los poderes, pero no es necesario aquí.) Tome la segunda potencia exterior de ambos lados de la isomorfismo $M \oplus A \cong A \oplus A$ y el uso de la Kunneth fórmula. Mira de cerca a lo que usted tiene. A continuación, tome la segunda a la exterior poderes de nuevo y ver de cerca lo que usted tiene.
La frase que está buscando es que de una forma estable, libre de módulo. Su pregunta se contesta en la afirmativa en Keith Conrad (como siempre) muy útil notas en forma estable y libre de los módulos de aquí. En particular, tenga en cuenta que es posible tener $A\oplus M\cong A\oplus A\oplus A$ sin tener $M\cong A\oplus A$, pero esto es una mínima contraejemplo: Si $A\oplus M\cong A\oplus A$,$A\cong M$.
Por debajo de aquí es una respuesta a una pregunta diferente que la que se pide, que me estoy dejando en sólo debido a un comentario que era útil.
Nope! Tome $A=\mathbb{Z}$ $M$ la suma directa de coutably muchas copias de $\mathbb{Z}$. A continuación,$M\oplus A\cong M\cong M\oplus M$, pero $M\not\cong A$.
Por otro lado, para algunas clases de anillos (por ejemplo, $A=\mathbb{Z}$, y creo que los dominios de Dedekind) es cierto que puede "cancelar" finitely-módulos generados en la manera que usted desea (es decir, si uno de los factores es el anillo en sí).
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