Si $f(x)$ es un polinomio con coeficientes racionales tales que para cada número racional $r$, $f(r)$ es el cuadrado de un número racional, podemos concluir que el $f(x) = g(x)^2$ por algún otro polinomio $g(x)$ con coeficientes racionales?
He probado el cuadrática caso en mi respuesta a esta pregunta, y estoy adivinando que el caso general, es cierto, pero no saben cómo proceder.
¿Este se extienden a los polinomios en varias variables? ¿Qué pasa en los diferentes campos de las fracciones? Nota: esto no es cierto para los números complejos, ya que cada valor complejo es el cuadrado de un número complejo, pero lineal de polinomios no son cuadrados perfectos
Parece que la correcta formulación de esta pregunta es que si $f(x_1, x_2, \ldots x_n)$ es un polinomio con coeficientes enteros de tal forma que cada número entero especialización de $x_1, x_2, \ldots, x_n$ es una perfecta $p$th poder, a continuación, $f$ es una perfecta $p$th poder polinomio.
Una prueba está disponible aquí, que muestra, además, que es sólo para sostener las necesidades de algunos $|x_i| < C$ (a pesar de que es un gigantesco $C$). Teorema 4 respuestas a la pregunta anterior y es similar a la presentada por Franklin. El multi-variable de caso se aborda a través de la inducción.
Respuestas
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En primer lugar, no necesitamos considerar racional de los coeficientes. Se puede borrar denominadores multiplicando por un cuadrado entero. Para el polinomio con coeficientes enteros es suficiente para saber que se trata de una plaza para un entero de entrada.
Ahora lo que necesita para demostrar que un número infinito de números primos van a ser divisores de la salida de cualquier no-constante polinomio $h$ en los enteros. Suponga que $p_1,\ldots, p_r$ son los únicos números primos que dividen a cada valor de $h(n)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$. A continuación, tome $h(a_0p_1\cdots p_r)=a_0\left(a_0^{n-1}a_n(p_1\cdots p_r)^n+\cdots+1\right)$. A la de Euclides prueba el último factor debe ser divisible por un nuevo primer (probablemente necesitemos tomar $r$ grande para evitar que ese último factor es $1$).
Si $a_0=0$$h(x)=xg(x)$, por lo que acaba de poner $x=p$ cualquier primer desea dividir $h(p)$.
Escribir $f=g^2h$ $h$ squarefree. Tomar un primer $p$ que no dividen la resultante de las $R(h,h')$, pero tal que divide $h(n)$ algunos $n$. Tal $p$ $n$ existe porque lo hemos demostrado anteriormente. Desde $f(n)$ es un cuadrado de $p^2|h(n)$. Ahora $h(n+p)$ es también divisible por $p$ y por lo tanto también divisible por $p^2$. Pero $h(n+p)=h(n)+ph'(n)$ mod $p^2$. Esto implica $p$ divide $h'(n)$ y por lo tanto se divide $R(h,h')$. Contradicción. Por lo tanto, $h$ es constante. Por último, esta constante $h$ debe ser un cuadrado desde $f$ es siempre dando la plaza de valores.
Este es un bebé de aplicación de Hilbert de la irreductibilidad Teorema.
