$X$ y $Y$ están jugando un juego. Hay $11$ monedas en la mesa y cada jugador debe recoger al menos $1$ moneda, pero no más de $5$ . La persona que recoge la última moneda pierde. $X$ comienza. ¿Cuántos debe recoger para empezar para asegurar una victoria sin importar la estrategia $Y$ emplea?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Darth Geek
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Soke
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Si $X$ toma $4$ al principio, luego habrá $7$ a la izquierda.
$Y$ puede entonces tomar cualquiera entre $1-5$ . Deje que $y$ sea el número de monedas $Y$ lo recoge. Luego $X$ puede recoger $6-y$ monedas y quedará una moneda en la mesa, que $Y$ tiene que recoger. Sabemos que $X$ puede recoger $6-y$ monedas porque $1 \leq y \leq 5$ Por lo tanto $1 \leq 6-y \leq 5$
sharkbait
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No importa lo que a Y le quede sólo $1$ . Ya que lo máximo que alguien puede tomar es $5$ y lo menos que alguien puede tomar es $1$ entonces para ganar, X necesita asegurarse de que está eligiendo cuando hay entre $1+1=2$ y $1+5=6$ monedas que quedan. Así que para hacer esto en la menor cantidad de pasos posibles, X necesita empezar por tomar $4$ monedas. Entonces habrá $7$ monedas que quedan. Después del turno de Y, se garantizará entre $2$ y $6$ monedas que quedan. Entonces X sólo necesita tomar $5$ monedas y Y se verán obligados a tomar $1$ y X gana.
Devon Parsons
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Hagen von Eitzen
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Un jugador que se enfrenta a $n$ las monedas pueden forzar una victoria si existe $1 \le k \le 5$ de tal manera que un jugador que se enfrenta $n-k$ las monedas no pueden escapar de una pérdida.
Claramente, $n=1$ es una posición perdida. Por lo tanto $n=2, 3, 4, 5, 6$ son posiciones ganadas. Por lo tanto $n=7$ es una posición perdida. Por lo tanto $n=8, 9,10,11,12$ son posiciones ganadas. Uno ve fácilmente que este patrón continúa y una posición $n$ se pierde si y sólo si $n \equiv 1 \pmod 6$ . Por lo tanto $n=11$ es una posición ganada - y el (único) movimiento ganador consiste en ir a la posición perdida $7$ .
