Los subgrupos que contiene el kernel de grupo morphsm a un grupo abelian son normales.

Question

Deje $\varphi:G\rightarrow H$ ser un grupo homomorphism de grupo $G$ grupo $H$. Muestran que, si $H$ es abelian, todos los subgrupos de $G$ que contengan $\mathrm{ker} (\varphi)$ son normales en $G$.

Answer 1

Sugerencia: $G / \ker \varphi$ es abelian. Por lo tanto $G' \le \ker \varphi$ donde $G'$ es el colector de un subgrupo.

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$G / \ker \varphi$ es isomorfo a $H$ por el primer teorema de isomorfismo, por lo tanto abelian. Por el familiar de la propiedad de $G'$,$G' \le \ker \varphi$. De ello se sigue que cualquier subgrupo de $K$ que contiene $\ker \varphi$ también contiene $G'$. Por lo tanto $K$ es normal por otro familiar de la propiedad de $G'$.

Si usted no está familiarizado con la propiedad en la última instrucción, aquí es cómo lo demuestran: Desde $G/G'$ es abelian y $K/G'$ es un subgrupo de $G/G'$,$K/G' \trianglelefteq G/G'$. Llegamos a la conclusión de que $K$ es normal por el cuarto teorema de isomorfismo.

Answer 2

Directo: Vamos A $\ker(\phi) \leq N \leq G$. Si $g \in G$, $\phi(g N g^{-1})=\phi(g) \phi(N) \phi(g)^{-1} = \phi(N)$ muestra $g N g^{-1} \subseteq \ker(\phi) N \subseteq N$.

(Solo necesitamos que cada subgrupo de $H$ es normal. )

Answer 3

Observe que $\varphi$ induce un bijection entre los subgrupos de $G$ contiene $\ker \varphi$ y los subgrupos de $\varphi(G) \leq H$. Por lo tanto, si $K$ es un subgrupo de $G$ contiene $\ker \varphi$, es suficiente para mostrar que $\varphi(gKg^{-1})=\varphi(K)$ todos los $g \in G$; pero la igualdad anterior es claro desde $H$ es abelian.

Answer 4

Hay un general, fácil de recordar (y fácil de probar) regla:

La preimagen de un subgrupo normal es normal.

Por otra parte, los subgrupos de $G$ contiene $\ker(\varphi)$ son sólo preimages de los subgrupos de $H$. Al $H$ es abelian, todos sus subgrupos son normales y que el reclamo de la siguiente manera a partir de dicha regla.