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La Ecuación de onda No uniforme de la cadena (PDE)

La ecuación de onda en una aplicación no uniforme de la cadena es : $$ u_{tt} = c(x)^2 u_{xx} $$ $$ u(x,0) = f(x) = e^\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} , \:\:u(0,t) = 0\:,\:\:u(L,t) = 0, \:\: u_{t}(x,0) = -cf'(x) $$ con $c(x) = c_{1}$$0 \le x \le \frac{L}{2} $, e $c(x) = c_{2}$$ \frac{L}{2} < x \le L$. Donde $L$ es la longitud de la cadena.

He intentado usar el método de diferencias finitas para animar la solución y el resultado es bastante agradable, cambiando el habitual esquema de la diferencia de $$ u^{m+1} = (2I - (c\triangle t)^2A)u^{m} - u^{m-1} $$ a $$ u^{m+1} = (2I - C(\triangle t^2)A)u^{m} - u^{m-1} $$ donde $u(x_{i},t_{m}) \approx u_{i}^{m} $, $x_{i} = i\triangle x$, $t_{m}= m \triangle t$.

$ i = 0,1,2,3,...,l$ donde $x_{l} = L$ y

$ m = 0,1,2,3,.....$

también : $ u^{m} = \left[ \begin{array}{c} u_{1}^{m} \\ u_{2}^{m} \\ . \\ . \\ u_{l-2}^{m} \\ u_{l-1}^{m} \end{array} \right] $ , $A = \frac{1}{(\triángulo x)^2} \left( \begin{array}{cccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & . & . & . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & . & . & . & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) $ , $ C = \left( \begin{array}{cccccccc} c_{1}^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & c_{1}^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & . & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & c_{1}^2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{2}^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{2}^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{2}^2 \\ \end{array} \right) $

$A $ $C$ matriz cuadrada del mismo tamaño (que es $l-2 $).

El resultado se ve bien (http://www.youtube.com/watch?v=9lDRms5i0Hc). Cuando la onda pasa a través de la articulación, algunos son reflejadas y algunos de transmisión sexual, pero mi profesor dijo que la solución numérica está mal y debo añadir otra condición para $u$ en la articulación.

Yo quería demostrar mediante la comparación de mi solución numérica con la solución exacta para la no uniforme de la cadena de la ecuación de onda, alguien puede compartir su pensamiento para la solución exacta, y el esquema numérico que he hecho? Gracias

3voto

Solución exacta Primero se debe encontrar la siguiente solución de la ecuación: $u(x,t)=X(x)T(t)$

$$X(x)T''(t)=c(x)^2X''(x)T(t) \Rightarrow\frac{T''(t)}{T(t)}=c(x)^2\frac{X''(x)}{X(x)}$$

Desde la parte izquierda depens sólo en $t$ y el derecho sólo depende de $x$, en tanto las partes no depende ni de la variable:

$$\frac{T''(t)}{T(t)}=c(x)^2\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda$$

Entonces tenemos Sturm-Liouville problema $$X''(x)+\lambda c(x)^2X(x)=0, \\ X(0)=0,X(L)=0$$

Supongamos que usted encuentra autovalores $\lambda_n$ y las correspondientes funciones propias $\mu_n(x)\ne0$.

Desde $T''(t)+\lambda T(t)=0,$ $T(t)=A_ne^t+Be^{-t}$ o $T(t)=A_n(t)\cos t+B_n\sin t$ dependiendo del signo de $\lambda_n$.

Supongo que $\lambda_n > 0$ aquí. (Debe ser)

Entonces, la solución tiene la forma siguiente $u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty( A_n\sin t+B_n\cos t)\mu_n(x)$$u(x,0)=\sum\limits_{n=1}^\infty B_n\mu_n(x)$$u'_t(x,0)=\sum\limits_{n=0}^\infty A_n\mu_n(x)$.

Por la forma en que usted necesita una condición de frontera en $u'_t(x,0)$, de modo que el problema es la correcta.

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