Aproximan suma de valores absolutos de una función cuadrática

Question

He aquí una muy cuidada cosa que me acabo de encontrar:

Consideremos, por ejemplo, $$\sum _{k=-20}^{20} \left| x-k\right|$$

Es la parcela (después del ajuste de escala) se parece a

Esto parece sospechosamente cuadrática, y podemos, de hecho, superposición $y = x^2 + 420$ se encuentra con que la línea de arriba bastante bien: .

Por otra parte, para valores enteros de a $x$ en el dominio $[-21,21]$, nos encontramos con que los valores alcanzados por estas dos funciones son iguales.

Sospecho que si hemos cambiado la suma que el tamaño de paso ser más pequeño, nos encontraríamos con que se empezó a aproximar incluso para valores no enteros de $x$.

Puede alguien explicar por qué esta propiedad se produce?

Answer 1

Sugerencia: tomar una $\,x \in [-20, 21)\,$,$\,-20 \le m = \lfloor x \rfloor \lt 21\,$, y:

$$ \;|x-k| = \begin{cases} \;x - k \quad\text{for}\;\;-20 \le k \le m \\ \;k - x \quad\text{for}\;\;m+1 \le k \le 20 \end{casos} $$

De ello se sigue que (por $\,-20\le m\le20\,$):

$$ \begin{align} \sum _{k=-20}^{20} \left| x-k\right| &= \sum _{k=-20}^{m} (x-k) + \sum _{k=m+1}^{20} (k-x) \\[3px] &= (m+21)x - \sum _{k=-20}^{m} k + \sum _{k=m+1}^{20} k - (20-m)x \\[3px] &= (2m+1) x - (m+21)\cdot \frac{-20 + m}{2} + (20-m)\cdot\frac{m+1 + 20}{2} \\[3px] &= (2m+1)x + (m+21)(20-m) \\ &= (2 \lfloor x \rfloor+1)x - \lfloor x \rfloor^2 - \lfloor x \rfloor + 420 \end{align} $$

La última expresión se explica el comportamiento cuadrático, así como la coincidencia en entero $x\,$.

El cuadrática comportamiento se degrada rápidamente fuera de $\,(-21,21)\,$ como se puede comprobar aquí.

Answer 2

Vamos a estudiar lo que ocurre con el valor de la suma como $x \rightarrow x+1$.

Cada $k$ tal que $k < x$, el valor desciende por 1.
Cada $k$ tal que $k \geq x$, el valor sube por 1.
So $f(x+1)$ - $f(x) = \#(k \geq x) - \#(k < x)$.

$x \in [-20, 20]$, Tenemos $\#(k < x) = 20 +x$ y $\#(k \geq x) = 21-x$. Así $f(x+1) - f(x) = (21 - x) - (20 + x) = 2x + 1$.

Ahora vamos a configurar $g(x) = x^2 + c$ y estudio $g(x+1) - g(x)$. Tenemos $(x+1)^2 + c - x^2 - c = 2x + 1$.

$x \in [-20, 20]$ Tenemos $f(x+1) - f(x) = g(x+1) - g(x)$. Así que si escogemos adecuadamente $c$, número entero valores $\in [-20, 20]$ tendremos $f = g$.

Answer 3

$$f(x) = \sum_{k=-n}^n|x-k| =\sum_{k=-n}^{0}|x-k| + \sum_{k=0}^n|x-k| - |x| $$ $$=\sum_{k=0}^n\left(|x-k+n| + |x-k|\right) -|x|$$

Si $x\in\{0,1,2,...,n\}$

$$f(x) = \sum_{0\le k\le x}(2x-2k+n) + \sum_{x < k\le n}n\ - \ x$$

$$ = \left[2x(x+1)-x(x+1) +n(x+1)\right] + [(n-x)n] - x$$ $$ = x^2 + n(n+1)$$

Y del mismo modo si $-n \le x < 0$ (sólo algunos cambios de valor absoluto o el índice).