¿Qué significa infinito numerable?

Question

¿Cómo sucinto explicarías el concepto de infinito numerable a un estudiante que no está expuesto a cualquier teoría de conjuntos? Estoy teniendo dificultad para entender lo que es el concepto de infinito numerable, por favor me podrias ayudar entender.

¡Gracias!

Answer 1

Un conjunto $S$ es countably infinito si y sólo si puede etiquetar sus miembros con los enteros positivos de tal manera que cada miembro de $A$ obtiene exactamente una etiqueta, y cada entero positivo se utiliza como una etiqueta; es exactamente como si estuviera contando los miembros de $A$, excepto que usted nunca llegará a su fin. Por supuesto, esto indica inmediatamente que el conjunto de enteros positivos es countably infinito: son miembros de sus propias etiquetas!

Cómo sobre el conjunto de enteros no negativos, los enteros positivos junto con $0$? Puedo dar $0$ la etiqueta '$1$', $1$ la etiqueta '$2$', $2$ la etiqueta '$3$', y así sucesivamente: cada entero no negativo, $n$ recibe la etiqueta '$n+1$'. Cada entero no negativo obtiene exactamente una etiqueta, y cada entero positivo es la etiqueta de algunos de los enteros no negativos. (Por ejemplo, '$100$' es la etiqueta de $99$.)

Vamos a llegar un poco más elegante: lo que sobre el conjunto $E = \{2,4,6,8,\dots\}$ incluso de enteros positivos? $E$ es también countably infinito: sólo etiquetar el entero par $2n$ con el entero positivo $n$, por lo que el $2$ está marcada con '$1$', $4$ se etiqueta '$2$', y así sucesivamente. Con un poco más de trabajo, podemos ver que el conjunto de $O = \{1,3,5,7,\dots\}$ de impar positivo es countably infinito: $$\begin{align*} 1 &= 2 \cdot 1 - 1\\ 3 &= 2 \cdot 2 - 1\\ 5 &= 2 \cdot 3 - 1\\ 7 &= 2 \cdot 4 - 1\\ &\qquad\vdots \end{align*}$$ That is, the $n$-th odd positive integer is $2n-1$, so giving $2n-1$ the label $n$ will correctly label all of $O$.

Una más: ¿qué sobre todo de los números enteros, positivos, negativos y el cero? Podemos enumerar de forma sistemática como $0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\dots$ y, a continuación, la etiqueta de cada entero con su posición en la lista: $0$ obtiene la etiqueta '$1$', $1$ se pone la etiqueta '$2$', $-1$ recibe la etiqueta '$3$', y así sucesivamente. Se tarda un poco más, esta vez para escribir una fórmula que consiste en asociar un número entero con su etiqueta, pero se puede hacer: si $n$ es un positivo entero, su nombre es '$2n$', y de lo contrario, $n$ obtiene la etiqueta $1-2n$.

Voy a terminar con una forma mucho más complicado. Deje $P$ ser el conjunto de todos los pares ordenados de enteros positivos. Los miembros de $P$ convenientemente se puede mostrar en un diseño bidimensional: $$\begin{array}{ccccc}(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&\dots\\ (2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&\dots\\ (3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&\dots\\ (4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{array}$$ By starting in the upper left-hand corner and weaving back and forth diagonally, you can properly label every member of $P$: $$\begin{array}{ccccccccc}(1,1)\leftrightarrow 1&\Rightarrow&(1,2)\leftrightarrow 2&&(1,3)\leftrightarrow 6&\Rightarrow&(1,4)\leftrightarrow 7&&\dots\\ &\swarrow&&\nearrow&&\swarrow&&\nearrow&\\ (2,1)\leftrightarrow 3&&(2,2)\leftrightarrow 5&&(2,3)\leftrightarrow 8&&(2,4)\leftrightarrow 14&&\dots\\ \Downarrow&\nearrow&&\swarrow&&\nearrow&&\swarrow&\\ (3,1)\leftrightarrow 4&&(3,2)\leftrightarrow 9&&(3,3)\leftrightarrow 13&&(3,4)\leftrightarrow 18&&\dots\\ &\swarrow&&\nearrow&&\swarrow&&\nearrow&\\ (4,1)\leftrightarrow 10&&(4,2)\leftrightarrow 12&&(4,3)\leftrightarrow 19&&(4,4)\leftrightarrow 25&&\dots\\ \Downarrow&\nearrow&&\swarrow&&\nearrow&&\swarrow&\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots \end{matriz}$$ (You should check that labels ‘$12$', ‘$13$', ‘$14$', ‘$18$', ‘$19$', and ‘$25$' are right.) This shows that $P$ es countably infinito. Es posible expresar esta correspondencia por una fórmula, sino que va más lejos de lo necesario sólo para obtener a través de la idea de countably infinito.

Añadido: La misma idea básica de la que he utilizado para $P$ puede ser utilizado para demostrar que el conjunto de los números racionales es countably infinito, aunque algunos de los detalles técnicos son más bien de no-trivial.