Por el centro de un grupo de $G$ nos referimos al conjunto de todos los elementos de a $G$ que conmutan con todos los elementos de a$G$, $C = \{ a \in G: ax = xa \text{ for every } x \in G \}$.
Queremos mostrar que $C$ es un subgrupo:
(yo). Deje $m, n \in C$, $mx = xm$ $nx = xn$ por cada $x \in G$. Mostrar que $(mn)x = x(mn)$. $mx = xm \rightarrow x = m^{-1}xm$ y $nx = xn \rightarrow x = n^{-1}xn$. A continuación, sustituir: $mnx = (mn)x = (mn)(n^{-1}xn) = mxn = m(m^{-1}xm)n = x(mn) = xmn$.
(ii). Deje $m \in C$,$mx = xm$. Mostrar que $m^{-1}x = xm^{-1}$. De $mx = xm$ podemos concluir que $x = mxm^{-1}$$x = m^{-1}xm$. Así que tengo que mostrar que $m^{-1}x = xm^{-1}$. Podemos sustituir como sigue: $m^{-1}x = m^{-1}(mxm^{-1}) = xm^{-1}$.
Después de resolver el anterior problema, estoy teniendo problemas para hacer cualquier progreso en el siguiente problema:
Deje $C' = \{ a \in G: (ax)^{2} = (xa)^{2} \text{ for every } x \in G \}$. Demostrar que $C'$ es un subgrupo de $G$.
(yo). Deje $m, n \in C'$,$(mx)^{2} = (xm)^{2}$$(nx)^{2} = (xn)^{2}$. Mostrar que $(mnx)^{2} = (xmn)^{2}$.
(ii). Deje $m \in C'$, muestran que $m^{-1} \in C'$.
He tratado de utilizar una estrategia similar para el centro del problema por resolver para $x$ y multiplicando $(mx)^{2}, (xm)^{2}, (nx)^{2}, (xn)^{2}$ en diferentes maneras. Pero no he hecho ningún progreso. Podrían darme una sugerencia para la parte (i)?
