Encuentra el máximo valor posible.

Question

Para todas las triplas ordenadas $(p,q,r)$ definir el polinomio
$$f_{p,q,r}(x)=x^3-px^2+qx-r$$
Dejemos que $a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3}$ sean reales positivos (no necesariamente distintos) tales que las raíces de $f_{a_{1},a_{2},a_{3}}(x)$ son $b_{1},b_{2},b_{3}$ y las raíces de $f_{b_{1},b_{2},b_{3}}(x)$ son $c_{1},c_{2},c_{3}$ . Determine el valor máximo posible de

$$ \frac{9\sqrt[3]{b_{3}}}{b_{1}+3} + \frac{4+3b_{1}+2b_{2}+b_{3}}{a_{1}+1} $$

He utilizado las fórmulas de Vieta combinadas con el cálculo. He fijado esta expresión igual a $y$ y luego cubrió ambos lados. Luego traté de usar el hecho de que desde $y$ es real, el cúbico en $y$ (generado por la cubicación de ambos lados) tendrá tres raíces reales. Ahora, diferencié la ecuación con respecto a $y$ (suponiendo que todo lo demás sea constante). Tengo una cuadrática en $y$ y luego hice su discriminante $>0$ . Ahora he utilizado las fórmulas de Vieta. Después de eso estoy atascado ya que todavía tengo más de una variable. Además, aún no estoy familiarizado con el cálculo multivariable. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Esta pregunta es un viejo problema planteado en Brilliant.

Puede verlo aquí junto con la solución del creador del problema Zi Song .

Answer 2

Creo que $$ \frac{9b_3^{1/3}}{b+1}+\frac{4+3b_1+2b_2+b_3}{a_1+1}\leq 4, $$ la igualdad es válida para $c_1=c_2=c_3=1$ , $b_1=3$ , $b_2=3$ , $b_3=1$ , $a_1=7$ , $a_2=15$ , $a_3=9$ .

Al principio, vemos que $c_1,c_2,c_3$ definir todos los demás: $$ b_1=c_1+c_2+c_3, $$ $$ b_2=c_1c_2+c_2c_3+c_3c_1, $$ $$ b_3=c_1c_2c_3, $$ $$ a_1=b_1+b_2+b_3=c_1+c_2+c_3+c_1c_2+c_2c_3+c_1c_2c_3. $$ Además, todos son positivos para cualquier $c_1,c_2,c_3$ y no tenemos ninguna restricción para $c_i$ .

Poner expresiones a través de $c_i$ para $b_i$ y $a_i$ en la fórmula obtenemos: $$ \frac{9(c_1c_2c_3)^{1/3}}{c_1+c_2+c_3+3}+\frac{4+3(c_1+c_2+c_2)+2(c_1c_2+c_2c_3+c_3c_1)+c_1c_2c_3}{c_1c_2c_3+c_1c_2+c_2c_3+c_3c_1+c_1+c_2+c_3+1}. $$ Me gustaría señalar $c_1+1=x$ , $c_2+1=y$ , $c_3+1=z$ . Se puede comprobar que tenemos: $$ \frac{9((x-1)(y-1)(z-1))^{1/3}}{x+y+z}+\frac{xyz+xy+yz+zx}{xyz}. $$