Para probar que esta secuencia no contiene un cuadrado perfecto

Question

Tengo que demostrar que la secuencia $\{11,111,1111, \dots \} $ no contiene ningún número cuadrado perfecto. Puedo realizarlo pero soy incapaz de probarlo. Por favor ayuda.

Answer 1

$$\underbrace{11\cdots11}_{n \text{ digits}}\equiv11\pmod{100}\text{ for }n\ge2$$

$$\implies\underbrace{11\cdots11}_{n \text{ digits}}\equiv11\pmod4\equiv-1\text{ for }n\ge2$$

Pero para cualquier número entero $\displaystyle a,a\equiv0,\pm1,2\pmod4$

$\displaystyle\implies a^2\equiv0,1\pmod4$

Answer 2

El primer término de la secuencia, $x_{0}=11$, no es un cuadrado perfecto. El resto de los términos se construyen como sigue: $x_{n+1}=10x_{n}+1$. Supongamos que $10x_{n}+1=a^2$ % entero $a$. Entonces $10x_{n}=a^2-1=(a+1)(a-1)$. Puesto que todos los números son impares, $a$ también debe ser impar, así que ambos $a+1$ y $a-1$ son incluso, lo que significa que el $10x_{n}$ es un múltiplo de $4$. Sin embargo, $x_{n}$ impar y $10$ no es un múltiplo de $4$, así que esto no puede ser verdad.

Answer 3

He aquí una prueba de aritmética.

Todos los números en la secuencia son de la forma $100j+11$ por entero $j$.

Imaginar una representación decimal de todos los M-dígitos enteros como $\sum_{m=0}^{M-1} 10^m k_m$$k_m \in \{0 .. 9\}$. La única enteros cuyas plazas final en 1 $k_0 \in \{1, 9\}$. Tener los números enteros "plazas" lugar de las decenas es igual a 1, luego por la forma de multiplicación, se tendría que: $1 \equiv 2 k_1 \pmod{10}$ (al $k_0 = 1$) o $1 \equiv 8 + 18 k_1 \pmod{10}$ (al $k_0 = 9$), lo cual es imposible para cualquier $k_1$, debido a que en ambos casos, el lugar de las decenas valor debe ser par. No cuadrados perfectos puede terminar en 11, 31, 51, 71, 91.