¿Qué es el cierre de $A$ en $\mathbb{R}$

Question

Si el conjunto $A$ ha sido la siguiente, encontrar el cierre de $A$ en $\mathbb{R}$ . $$A=\left\lbrace \frac{m+n}{2m+n+1}: m,n\in\mathbb{N}\right\rbrace$$

Answer 1

La clave está en averiguar qué fracciones se pueden escribir de la forma $\frac{m+n}{2m+n+1}$ para números enteros positivos $m$ y $n$ . Dejemos que $a=m+n$ y $b=2m+n+1$ , donde $m,n\in\Bbb Z^+$ . Entonces $b-a=m+1$ Así que

$$n-1=(m+n)-(m+1)=a-(b-a)=2a-b\;.$$

Así, $2a-b\ge 0$ es decir, $b\le 2a$ y tenemos $a+2\le b\le 2a$ .

A la inversa, supongamos que $a,b\in\Bbb Z^+$ son tales que $2\le a<a+2\le b\le 2a$ . Dejemos que $n=2a-b+1\ge 1$ y $$m=a-n=a-(2a-b+1)=b-a-1\ge 1\;;$$

entonces $m,n\in\Bbb Z^+$ , $a=m+n$ y $b=2m+n+1$ . Esto demuestra que

$$A=\left\{\frac{a}b:a,b\in\Bbb Z^+\text{ and }2\le a<a+2\le b\le 2a\right\}\;.$$

• ¿Qué es? $\inf A$ ?
• ¿Qué es? $\sup A$ ?
• Demostrar que $A=[\inf A,\sup A)\cap\Bbb Q$ . Una vez que tengas eso, conseguir $\operatorname{cl}A$ debe ser inmediata.