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Question

Indicar $\log x = \log_ex$. Consideremos la siguiente función $$\frac{\log x}{x}$$. Apparently, It's maximum is $\frac{1}{e}$. and strictly increasing in $ (e 0,] $, strictly decreasing in $ [e, + \infty) $. If we draw a line $y = un $, where $0 < un < \frac{1}{e}$. It will have two intersection point $x_1,x_2$. the question is how to prove $$x_1x_2 > e^2$$

Answer 1

Me gustaría cambiar la variable independiente a $t=\log x$. A continuación, consideramos que la función $f(t)=te^{-t}$, que tiene el máximo en $t=1$. (De hecho, $f'(t)=(1-t)e^{-t}$.) Tomamos puntos de intersección $t_1,t_2$ con la línea horizontal $y=a>0$, y quieren demostrar que el $t_1+t_2>2$.

Vamos a decir $t_1<1<t_2$. Geométricamente, $t_1+t_2>2$ significa que de estos dos puntos, $t_2$ está más lejos de $1$. Que es intuitivamente clara, ya que $|f'|$, la tasa de cambio de $f$, es menor a la derecha de $1$. Por lo que toma más tiempo para $f$ a disminuir a partir de $1/e$ $a$cuando se va a la derecha.

Un cálculo formal para justificar lo anterior puede tener este aspecto: $$ e^{-1}-a = \int_{t_1}^1 (1-t) e^{-t}\,dt > e^{-1} \int_{t_1}^1 (1-t) \,dt = \frac{(1-t_1)^2}{2} $$ $$ e^{-1}-a = \int_{1}^{t_2} (t-1) e^{-t}\,dt < e^{-1} \int_{1}^{t_2} (t-1) \,dt = \frac{(t_2 - 1)^2}{2} $$

Answer 2

Gire alrededor de este.

Supongamos $1 < x < e$ y $y = e^2/x$. Queremos mostrar que $\ln y/y > \ln x/x$.

Si esto se mantiene, desde $\ln x/x$ es la disminución de la para $x > e$, a continuación, el valor de $z> e$ tal que $\ln z/z = \ln x/x$ debe satisfacer $z > y$ así que $z > e^2/x$ o $xz > e^2$.

$\ln y/y =\ln(e^2/x)/(e^2/x) =x(2-\ln x)/e^2 $ así que queremos $x(2-\ln x)/e^2 > \ln x/x$ o $x^2(2-\ln x) > e^2 \ln x $.

Vamos $f(x) =x^2(2-\ln x) - e^2 \ln x $ donde $1 < x < e$. Queremos mostrar que $f(x) > 0$.

Voy a mirar en$f$, y sus sucesivas derivados y, Espero, mostrar lo que quiero. Aquí va.

$f(1) = 2$ y $f(e) =e^2-e^2 =0 $, así que los valores extremos son OK.

$\begin{array}\\ f'(x) &=2x(2-\ln x)-x-e^2/x\\ &=4x-2x\ln x - x -e^2/x\\ &=3x-2x\ln x -e^2/x\\ \end{array} $

Si podemos mostrar a $f'(x) < 0$ hemos terminado.

$f'(1) = 3-e^2 < 0$ y $f'(e) =3e-2e-e = 0 $ así, de nuevo, los valores extremos están bien.

Deje $g(x) = f'(x)= 3x-2x\ln x -e^2/x$. Si podemos demostrar que $g(x)$ va en aumento, a continuación, hemos terminado.

$\begin{array}\\ g'(x) &=3-(2+2\ln x)+e^2/x^2\\ &=1-2\ln x+e^2/x^2\\ \end{array} $

$g'(1) = 1+e^2 > 0$ y $g'(e) = 0$ así que los valores extremos son OK.

$g"(x) = -2/x-2e^2/x^3 < 0$.

Finalmente, tenemos algo definitivo!

Desde $g''(x) < 0$ y $g'(e) = 0$, $g'(x) > 0$ para $1 < x < e$.

Desde $g'(x) > 0$ y $g(e) = 0$, $f'(x) =g(x) < 0$ para $1 < x < e$.

Desde $f'(x) < 0$ y $f(e) = 0$, $f(x) > 0$ para $1 < x < e$ (¡uf!).

Y HEMOS TERMINADO!