Me parece que la pregunta siguiente: Es la suma directa de dos proyectiva y no libre de $R$-módulos proyectivos/libre? Lo que si $R$ tiene sin divisores de cero?
La respuesta a la primera pregunta es muy sencilla, porque la suma directa de módulos proyectivos son proyectivos, esto es evidente, el uso de la definición con un sumando directo de un libre $R$-módulo.
Es gratis: Considere el caso de $R=\mathbb{Z}_6$ y el módulo $\mathbb{Z}_6$-módulo de $\mathbb{Z}_6$ con la composición de la $\mathbb{Z}_6=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3$, tanto directa sumando son proyectivos $\mathbb{Z}_6$-módulo, pero ninguno de ellos es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}_6$-módulo.
Ahora tengo ni idea, ¿qué sucede si asumo que $R$ no tiene divisores de cero. Por favor, dame una pista para probar o un contraejemplo. Gracias
