Supongamos que tenemos que hacer una construcción sobre conjuntos contables, que requiere una elección. Si tenemos que repetir la misma construcción hasta el cardinal $\aleph_1$ (por ejemplo para construir una cadena de incrustaciones elementales para todos los ordinales $< \aleph_1$ ) ¿necesitamos el axioma de elección o basta con el axioma de elección dependiente (DC)?
Respuestas
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No.
La construcción habitual de un árbol de Aronszajn, que es un árbol sobre $\omega_1$ cuya altura es $\omega_1$ y cada nivel es contable, pero no hay ninguna rama en el árbol, requiere más de $\sf DC$ .
La construcción se realiza mediante la incrustación de ordinales contables en los números racionales, y eligiendo cuidadosamente los puntos límite que permitimos en las etapas límite. Sin embargo, esta construcción requiere que tengamos una secuencia de incrustación de cada ordinal contable en $\Bbb Q$ . Mientras que cada incrustación existe en $\sf ZF$ requiere algo más que $\sf DC$ para afirmar la existencia de una secuencia completa (bueno, no exactamente más, pero $\sf DC$ no es suficiente).
De hecho, ese sería un ejemplo aún más sencillo. Podemos construir una incrustación de cada ordinal contable en los números racionales sin apelar al axioma de elección. Sin embargo, para construir una secuencia de incrustaciones tenemos que elegir una incrustación para cada ordinal y $\sf DC$ no es suficiente para eso.
Greg Case
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La elección dependiente no es suficiente.
Por ejemplo, en el modelo de Solovay, donde la elección dependiente se mantiene, no hay una secuencia de escalera en $\omega_1$ es decir, ninguna secuencia $(C_\alpha\mid\alpha<\omega_1)$ tal que, para cada límite $\alpha$ el conjunto $C_\alpha$ es cofinal en $\alpha$ y tiene el tipo de orden $\omega$ .
Del mismo modo, en ese modelo no hay una secuencia $(f_\alpha\mid0<\alpha<\omega_1)$ donde cada $f_\alpha:\alpha\to\omega$ es inyectiva.
En el modelo de Solovay todos los conjuntos de reales son "agradables" (medibles por Lebesgue, tienen la propiedad de subconjunto perfecto, etc), por lo que ninguna de las construcciones transfinitas que producen conjuntos "patológicos" patológicos", no hay ninguna inyección de $\omega_1$ en $\mathbb R$ (aunque por supuesto $\mathbb Q$ tiene copias de todos los ordinales contables), etc.
Si nos fijamos en los modelos de determinismo (que están estrechamente relacionados con el modelo de Solovay de varias maneras no triviales), entonces, incluso en aquellos modelos en los que la elección dependiente se mantiene, el filtro del club es un ultrafiltro, por lo que no hay conjuntos estacionarios-coestacionarios. (Por lo tanto, en particular, no hay nada que se parezca a las matrices de Ulam.) Para ilustrar la estrecha relación: Bajo cardinales grandes apropiados, $L(\mathbb R)$ es un modelo de determinación donde $\mathsf{DC}$ se mantiene, y es (elementalmente equivalente a) un modelo Solovay.
Para una fuente diferente de ejemplos, la mayor parte de la combinatoria interesante sobre $\omega_1$ -árboles no se encuentra en estos modelos de determinación. (Varias personas, entre ellas Philipp Schlicht, tienen algunos resultados negativos muy generales sobre las posibilidades de los árboles de Aronszajn o Kurepa, no sólo sobre $\omega_1$ .)
