Deje $\mathbb{N}$ ser el conjunto de los números naturales con la topología discreta. Hay un compactification $X$$\mathbb{N}$, otros de la Piedra–Čech compactification $\beta \mathbb{N}$, en el que cada subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ tiene al menos dos límite de puntos?
En otras palabras, ¿existe un compacto Hausdorff espacio de $X$, no homeomórficos a $\beta \mathbb{N}$, teniendo un contable densa discreta subconjunto $A$ de manera tal que cada subconjunto infinito de $A$ tiene al menos dos límite de puntos?
Motivación: $\beta \mathbb{N}$ tiene la propiedad de que para cada infinitas $B \subset \mathbb{N}$, el cierre de la $\bar{B}$ es de nuevo homeomórficos a $\beta \mathbb{N}$ (ver Lema 5 aquí). En particular, $B$ $2^\mathfrak{c}$ límite de puntos. Por supuesto, $\beta \mathbb{N}$ es el "más grande posible" compactification de $\mathbb{N}$.
Por otro lado, si $X$ es la primera contables en cualquier punto de $x$$X \setminus \mathbb{N}$, entonces hay una secuencia en la $\mathbb{N}$ convergentes a $x$. Esta secuencia es, pues, un conjunto infinito con sólo un punto límite. Por lo que cualquier primer contables compactification es "demasiado pequeño".
Me estoy preguntando lo que está en el medio.
(Esto ocurrió mientras pensaba en esta respuesta.)
