Complejo de Koszul es importante para la teoría homológica de anillos comutativos. Sin embargo, es difícil adivinar de donde provenían. ¿Cuál fue la motivación para el complejo de Koszul?
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YequalsX
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No sé el origen histórico, pero no es tan difícil inventar una historia:
Considere el ejemplo básico $$0 \to k[x] \to k[x] \to k \to 0,$$ donde la flecha central es mult. por $x$. Esta es una resolución de $k = k[x]/(x)$ $k[x]$- módulo.
Ahora supongamos que usted quiere generalizar esto para obtener una resolución de $k = k[x_1,...,x_n]/(x_1,...,x_n)$ $k[x_1,...,x_n]$- módulo. No es difícil ver que usted necesita "una copia" de la secuencia anterior para cada variable; tensoring estos todos juntos más de $k$ le da la costumbre Koszul resolución de $k$$k[x_1,...,x_n]$.
No es difícil pasar ahora con el contexto más general de los elementos de $a_1,\ldots,a_n$ en un anillo de $A$, e imaginar el el complejo de Koszul $a_1,\ldots,a_n$ relacionados con el módulo de $A/(a_1,\ldots,a_n)$.
Avi
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21
En esta respuesta creo que sería más bien se centran en por qué es el complejo de Koszul tan ampliamente utilizado. En términos abstractos, el complejo de Koszul surge como la forma más fácil de combinar un álgebra con un coalgebra en presencia de cuadráticas de los datos. Usted puede encontrar el moderno generalización de la Koszul dualidad descrita en la vara de Aarón comentario por la lectura
http://math.unice.fr/~brunov/Operads.pdf
(la mayoría de los capítulos 2-3).
A mi conocimiento el complejo de Koszul es muy útil porque se puede utilizar incluso con cierto $A_\infty$-estructuras derivadas de la deformación de la cuantización de estructuras de Poisson y que se relaciona con el otro "más utilizados resolución en álgebra homológica", es decir, la barra de la resolución.
Para una revisión rápida de este hecho, por favor revise mi respuesta en Homotopy equivalente de los complejos de la cadena
Como se puede ver es un flexible objeto que tiene la propiedad de ser muy "explícito". Esto ayudó mucho a su difusión en la literatura matemática.
