¿Cualquier grupo de nonabelian de orden $6$ es isomorfo a $S_3$?

Question

He leído una prueba al final de este documento que cualquier nonabelian grupo de orden $6$ es isomorfo a $S_3$, pero se siente torpe para mí.

Quiero probar el siguiente lugar:

Deje $G$ ser un nonabelian grupo de orden $6$. Por Cauchy teorema o los teoremas de Sylow, hay un elemento de orden $2$, vamos a generar un subgrupo $H$ orden $2$. Deje $G$ actuar sobre el conjunto cociente $G/H$ por conjugación. Esto induce a un homomorphism $G\to S_3$. Quiero mostrar es inyectiva o surjective para obtener el isomorfismo.

Sé $n_3\equiv 1\pmod{3}$$n_3\mid 2$, lo $n_3=1$, por lo que no hay una única, normal Sylow $3$-subgrupo. También, $n_2\equiv 1\pmod{2}$, e $n_2\mid 3$, lo $n_2=1$ o $3$. Sin embargo, si $n_2=1$, entonces sé $G$ sería un producto directo de sus subgrupos de Sylow, pero, a continuación,$G\cong C_2\times C_3\cong C_6$, una contradicción ya que el $G$ es nonabelian. Por lo $n_2=3$. Puede esta información se utiliza para mostrar el homomorphism es inyectiva o surjective? Gracias.

Answer 1

No se puede hablar de que el cociente $G/H$ menos que demostrar primero que $H$ es normal (el que usted no será capaz de hacer, ya que un grupo de orden $6$ siempre tiene un normal $3$-subgrupo, y si tiene una normal $2$-subgrupo entonces es abelian). Si usted está tratando de hablar acerca de los cosets de $H$$G$, entonces la acción por la conjugación no está bien definida, ya que el coset $H$ no está asignado a un coset de $H$ bajo la conjugación de cualquier elemento no en $H$ (precisamente por $H$ no es normal).

Si desea utilizar acciones, usted puede hacerlo: vamos a $H$ ser un subgrupo de orden $2$ y considerar la acción de la $G$ a la izquierda cosets de $H$ $G$ por la izquierda de la multiplicación. Esto le da un homomorphism $G\to S_3$; el núcleo está contenida en $H$, pero desde $H$ es de orden $2$ y no normal, lo que significa que el kernel es trivial, y por lo que el mapa es una incrustación. Dado que tanto $G$ $S_3$ tienen orden de $6$, se deduce que el mapa es un isomorfismo.