Aproximación para $\pi$

Question

Me tropecé con

$$ \pi \approx \sqrt{ \frac{9}{5} } + \frac{9}{5} = 3.141640786 $$

que es $\delta = 0.0000481330$ diferente de la $\pi$. Aunque esta es una muy burda aproximación me pregunto si ha sido cada utilizado en los últimos tiempos (históricamente). Tenga en cuenta que el anterior también podría estar relacionado con la proporción áurea $\Phi = \frac{\sqrt 5 + 1}{2} $ de alguna manera (la $\sqrt5$ es común en ambos).

$$ \Phi = \frac{5}{6} \left( \sqrt{ \frac{9}{5} } + \frac{9}{5} \right) - 1 $$

o

$$ \Phi \approx \frac{5}{6} \pi - 1 $$

Me gustaría saber si alguien (conocido) ha utilizado este o algo similar en su trabajo. Es por lo que todos conocemos a alguno de ustedes?

Una Pregunta relacionada con la (enlace).

Answer 1

No he visto antes. Tenga en cuenta que $\pi = \sqrt{a} + a$ donde $a = (1+2\,\pi -\sqrt {1+4\,\pi })/2$, y lo que está diciendo es que una aproximación racional de $a$ es $9/5$. De hecho, tenemos una fracción continua $$ a = 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{3+ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1139 + \ldots}}}}$$ y $1+1/(1+1/(3+1/1)) = 9/5$. El hecho de que el primer elemento omitido, $1139$, es tan grande que hace de esta una muy buena aproximación: el error en la aproximación de $a$ $9/5$ es sólo acerca de la $3.5 \times 10^{-5}$. Los cuatro elementos que más tarde llega a $7574$, por lo que una mejor aproximación es $1+1/(1+1/(3+1/(1+1/(1139+1/(1+1/(15+1/1)))))) = 174530/96963$ con error acerca de las $1.4 \times 10^{-14}$.

EDIT: tal vez incluso más notables son $$ \eqalign{\pi \sqrt{1 + \dfrac{47}{35} \pi} &\approx \dfrac{6}{7}\cr \pi \sqrt{\dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{2} \pi } &\approx \dfrac{216}{923}\cr}$$

correspondientes a las fracciones continuas

$$ \eqalign{\pi \sqrt{1 + \dfrac{47}{35} \pi} &= \dfrac{1}{1+ \dfrac{1}{6 + \dfrac{1}{126402+ \ldots}}}\cr \pi \sqrt{\dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{2} \pi} &= \dfrac{1}{4+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{19+\dfrac{1}{133286+\ldots}}}}}}}\cr}$$

Answer 2

Ramanujan encontrado esta aproximación, entre muchos otros, de acuerdo a Wolfram MathWorld ecuación 21 en la página enlazada.