Decompor$P$ en la suma directa de representaciones irreducibles.

Question

Nota: necesito ayuda con la parte (c).

Considere la posibilidad de la representación $P: S_3 \rightarrow GL_3$ donde $P_{\sigma}$ es la permutación de la matriz asociada a $\sigma$.

a) Determinar el carácter $\chi_P : S_3 \rightarrow \mathbb{C}$

b) Encontrar todas las representaciones irreducibles de $S_3$.

c) Descomponer $P$ en la suma directa de representaciones irreducibles. Es decir, encontrar una sola matriz$Q$, de modo que $Q^{-1}P_{\sigma}Q$ es de bloque diagonal donde los bloques a lo largo de la diagonal son $T_{\sigma}$, $\Sigma_{\sigma}$ o $A_{\sigma}$

Mi Intento

Aquí está mi progreso general para el problema:

Dejo $e$ a ser la identidad de permutación, $x = (1 \ 2 \ 3)$ $y = (1 \ 2)$

A continuación, dejo $P_x = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, $P_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ y $P_e = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Las clases conjugacy son como sigue:

• $\{e\}$
• $\{y, xy, yx\}$
• $\{x, x^2\}$

El carácter de la tabla muestra que:

$$\chi (\{e\}) = 3$$ $$\chi (\{x, x^2\}) = 0$$ $$\chi (\{y, xy, yx\}) = 1$$

Por el teorema he aplicado, he encontrado tres representaciones, lo cual es congruente con el número de clases conjugacy. Ellos son:

• trivial representación $T$
• signo de representación $\Sigma$
• representación bidimensional $A$, presentado como las simetrías del triángulo equilátero

La suma de sus dimensiones se corresponde con el teorema he aplicado:

$$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = |S_3| = 6$$

La única posibilidad de que la igualdad es $d_1 = d_2 = 1$$d_3 = 2$.

Otro personaje de la tabla muestra que:

$\chi_T (\{e\}) = 1$

$\chi_T (\{x, x^2\}) = 1$

$\chi_T (\{y, yx, xy\}) = 1$

$\chi_A (\{e\}) = 2$

$\chi_A (\{x, x^2\}) = -1$

$\chi_A (\{y, xy, yx\}) = 0$

$\chi_{\Sigma} (\{e\}) = 1$

$\chi_{\Sigma} (\{x, x^2\}) = 1$

$\chi_{\Sigma} (\{y, yx, xy\}) = -1$

Ahora, estoy atascado en la determinación de lo que es la matriz $Q$$Q^{-1}P_{\sigma}Q$.

Sé que tengo que hacer "cambio de base" y el trabajo de los vectores y cosas como esta, pero me parece que no puede encontrar el enfoque exhaustivo.

EDITAR:

Aquí es lo que tengo actualmente:

Para la representación trivial, tengo el vector $(1 , 1 , 1)$ que abarca el subespacio invariante.

Para la representación en dos dimensiones, necesito encontrar dos vectores $v$ $w$ tal forma que:

$P_x v = -v/2 + \sqrt{3}w/2$

$P_x w = -v/2 - \sqrt{3}w/2$

$P_y v = v$

$P_y w = -w$

He encontrado el $Q$ matriz, la cual es:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -\frac{(1 + \sqrt{3})}{2} \\ 1 & 1 & \frac{(1 + \sqrt{3})}{2} \\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}$$

Pero es incorrecto.

Cualquier consejos o comentarios que usted tiene?

Answer 1

La permutación de la representación de $S_3$ $\mathbb{C}^3$ (a pesar de que todo funciona a través de los racionales exactamente de la misma manera) se descompone como suma directa de lo trivial, la representación y las dos dimensiones de la reflexión de la representación, que has llamado a $A$.

Más explícitamente, el subespacio generado por el vector $v=(1,1,1)^t$ es una copia de la representación trivial, con $S_3$-estable complementar generado por los vectores $\alpha_1=(1,-1,0)^t$$\alpha_2=(0,1,-1)^t$, isomorfo a $A$. La matriz $Q$ por tanto, se puede disponer de estos tres vectores como sus columnas.

En caso de que estos vectores $\alpha_1$ $\alpha_2$ parecía venir de la nada, aquí es donde en realidad viene de: el habitual Hermitian producto interior en $\mathbb{C}^3$ $S_3$- invariante, entonces el complemento ortogonal de $v=(1,1,1)^t$ $S_3$- estable complemento a su extensión. Pero este complemento ortogonal consiste exactamente los vectores cuyas coordenadas suma a $0$, y el $\alpha$'s son justo lo que yo considero la más obvia base de este espacio.