He leído sobre el programa de Langlands (el papel de Torsten Wedhorn "Correspondencia de langlands locales para GL (n) sobre campos p-adic, para ser precisos), y quiero ensuciarme las manos con ejemplos. (Aunque no demasiado desagradable) ejemplos de representaciones admisibles de$GL_{n}(K)$, donde$K$ es un$p$ - campo adic Tomando Schur functores de una representación admisible, todavía debe darle algo generalmente admisible, ¿derecho?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En la segunda L de Especias de la recomendación del libro de Bushnell y Henniart, llamado "El local de Langlands conjeturas de GL(2)."
Después de dominar el director de la serie de representaciones, no es demasiado difícil de jugar con algunos supercuspidals. Más fácil que entre estos están la confiando inocentemente ramificado supercuspidals. Para la construcción de estas, vamos a empezar con la unramified cuadrática extensión de $L/K$, con el correspondiente residuo campos de $\ell/k$. Elige un personaje $\theta$ $L^\times$ que tiene estas propiedades:
(a) El carácter $\theta$ es trivial en $1+\mathfrak{p}_L$, por lo que el $\theta\vert_{\mathcal{O}_L^\times}$ factores a través de un personaje $\chi$$\ell^\times$. (b) $\chi$ es distinta de su $k$-conjugado. (En otras palabras, $\chi$ no es un factor a través de la norma mapa a $k^\times$.)
Es un estándar de hecho de que hay un correspondiente representación $\tau_\chi$$\text{GL}_2(k)$, que se caracteriza por la identidad de $\text{tr}\tau_\chi(g)=-(\chi(\alpha)+\chi(\beta))$ siempre $g\in\text{GL}_2(k)$ tiene los autovalores $\alpha,\beta\in\ell\backslash k$. (Esto está en algún lugar en Fulton y Harris, por ejemplo).
Inflar $\tau_\chi$ a una representación de la $\text{GL}_2(\mathcal{O}_K)$, y se extiende a una representación $\tau_\theta$ $K^\times\text{GL}_2(\mathcal{O}_K)$ que está de acuerdo con $\theta$ en el centro. Por último, vamos a $\pi_\theta$ ser inducida por la representación de $\tau_\theta$$\text{GL}_2(K)$; a continuación, $\pi_\theta$ es una irreductible supercuspidal representación.
Local de campo de clase de teoría, nuestro carácter original $\theta$ puede ser visto como un personaje de la Weil grupo de $L$. En el local de Langlands correspondencia, $\pi_\theta$ líneas con la representación de la Weil grupo de $K$ inducida por la de $\theta$. Todos los supercuspidals de $\text{GL}_2(K)$ surgir por inducción a partir de un abierto compacto-mod-centro de subgrupo, pero la construcción precisa de estos es un poco más sutil que la del ejemplo anterior.
nathan
Puntos
260
Ila, creo que el resultado sobre la admisibilidad de la irreductible, suave representaciones es debido a Jacquet.
Probablemente la mejor manera de conseguir un poco de las manos-en la experiencia es comenzar con el director de la serie. Estas son las representaciones construidas por parabólico inducción a partir de los personajes de la diagonal toro; son irreductibles cuando el personaje es regular, es decir, a diferencia de su no-trivial de Weyl conjugados. Por supuesto, estas representaciones barrer sólo una pequeña parte de la admisión del espectro, pero que pueden ofrecer un inicio.
Para entender el 'resto' de la (irreductible) admisible espectro, incluso para $GL_2$ (donde todo lo que queda es el discreto de la serie), ya es algo; es el tema del libro precioso de Bushnell y Henniart.
ryeguy
Puntos
506
Esto parece más un comentario que una respuesta, pero podría ser una buena manera de pensar en las cosas.
Para cualquier subgrupo compacto $K_0$$GL_n(K)$, el trivial de la representación es admisible. Sin embargo, NO es cierto que la inducida por la representación de $K_0$ $GL_n(K)$es admisible. Esto es debido al hecho de que $GL_n(K)/K_0$ no puede ser compacto. De hecho, cuando se considere la posibilidad de cualquier admisible representación $(\rho,V)$ de un subgrupo cerrado $H$ dentro $G$, entonces si $G/H$ es compacto, la inducción de la $\sigma$ $H$ $G$resultados en la admisibilidad de una representación.
También, cualquier irreductible suave representación de $GL_n(K)$ es admisible. Esto se desprende de Harish-Chandra.
