Evaluar la integración$\int_{|z|=100}f(z)\,dz$

Question

Dejó

Encontramos que la función$$f(z)=\frac{1}{z}.\frac{1-2z}{z-2}\cdots \frac{1-10z}{z-10}$ tiene un polo simple en los puntos$Find $, y todos los puntos están en$\int_{|z|=100}f(z)\,dz$. Así que la integral requerida es igual a$f(z)$. Pero este proceso es demasiado laborioso en este caso.

¿Existe alguna otra forma más sencilla de evaluar la integral?

Answer 1

En la medida en que todas las singularidades están contenidas dentro de$|z|<100$, podemos evaluar la integral del contorno encontrando el residuo en el infinito . Para ello, evaluamos

ps

Ahora, dado$$\text{Res}\left(f(z),z=\infty\right)=\text{Res}\left(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac1z\right),z=0\right)$, encontramos que

ps

Por lo tanto,

ps

Finalmente, tenemos

ps