Tengo problemas para entender estos dos espacios: 1) el complemento a un plano en$\mathbb{R}^4$ 2) el complemento al círculo$S^1$ in$S^3$. ¿Para qué son homotópicos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Pensar en el plano de la $\mathbb R^4$ como ser atravesado por los dos primeros ejes de coordenadas: $\{(x,y,0,0):x,y\in\mathbb R\}$. A continuación, la proyección en el segundo dos coordenadas es un homotopy equivalencia $(x,y,z,t)\mapsto (z,t)$ a $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$. Ahora $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ es homotopy equivalente a la de un círculo.
Para$S^1$$S^3$, cabe recordar que la $S^3$ es una unión de dos sólidos tori pegado a lo largo de su límite de una determinada manera. Piense en su círculo de $S^1$ como ser el núcleo de uno de estos tori. A continuación, la eliminación será homotopy equivalente a la de otros sólidos toro, que es homotopy equivalente a un círculo de $S^1$. Si el círculo se encuentra en $S^3$ como un nudo, entonces esto no va a funcionar, y de hecho la homotopy tipo de nudo complementa, es muy rico conjunto.
Cristian Vat
Puntos
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Para añadir a las otras dos respuestas, también vale la pena ver que la homotopía de$\mathbb{R}^4$ menos un plano a$S^1$ puede hacerse factor a través de$S^3$ menos el unknot. Es decir,$\mathbb{R}^4 \setminus \{(x,y,0,0)\}$ deformación se retrae a$\{(x,y,z,w)\mid x^2+y^2+z^2+w^2=1 \} \setminus \{(x,y,0,0)\mid x^2+y^2 =1\}$ (es decir$S^3 \setminus \text{planar unknot}$) por la homotopía$H(t,\vec{v}) = (1-t)\vec{v} + t \vec{v}/\|\vec{v}\|$
