Para el registro: Un espacio de Banach $X$ tiene de Banach-Saks de la propiedad si se le da un almacén de secuencia $(x_n)$ $X$ hay una larga $(y_n)$ $(x_n)$ de manera tal que la secuencia de $(\sigma_n)=(n^{-1}\sum\limits_{k=1}^n y_k)$ es la norma convergente.
En Diestel las Secuencias y Series en espacios de Banach, el siguiente esquema para la prueba de que un espacio de Banach con la de Banach-Saks propiedad reflexiva:
1) La de Banach-Saks de la propiedad es isomorfo invariante.
2) Si $X$ tiene de Banach-Saks de la propiedad, también lo hacen todos los de su cerrado subespacios lineales.
3) $\ell_1$ no tiene la Banach-Saks de la propiedad.
4) Si $(x_n)$ es débilmente de Cauchy y si ${\rm norm }\,\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty} n^{-1} \sum\limits_{i=1}^n x_n$ existe, $(x_n)$ es débilmente convergente.
5) a la Conclusión de que un espacio de Banach Saks de la propiedad es el reflexivo.
Nota de Rosenthal $\ell_1$ teorema (Cada secuencia delimitada en el espacio de Banach $X$ ha débilmente de Cauchy larga si y sólo si $X$ no contiene isomorfo copia de $\ell_1$), si $X$ tiene de Banach-Saks de la propiedad, entonces por 1), 2) y 3), cada una delimitada secuencia tiene una débilmente de Cauchy larga. De 4), entonces, se sigue que cada secuencia delimitada en $X$ ha débilmente convergente larga. Por lo tanto, la unidad de la bola de $X$ es débilmente compacto por el Eberlein-Smulian Teorema; y por lo $X$ es reflexiva.
