¿Los conjuntos compactos son cerrados?

Question

Me siento muy ignorante al hacer esta pregunta, pero es que no entiendo cómo un conjunto compacto puede considerarse cerrado.

Por definición, un conjunto compacto significa que, dada una cubierta abierta, podemos encontrar una subcubierta finita que cubra el espacio topológico.

Creo que la palabra "cubierta abierta" me molesta porque si es una cubierta abierta, ¿no significa que está formada por conjuntos abiertos en la topología? Si es así, ¿cómo podemos tener un "conjunto compacto cerrado"?

Sé que una topología se puede definir con la noción de conjuntos cerrados en lugar de conjuntos abiertos, pero creo que estoy muy confundido con esta terminología. Por favor, cualquier explicación sería útil para ayudar a aclarar esta confusión. Gracias.

Answer 1

Creo que lo que se te escapa es que una cubierta abierta de un conjunto compacto puede cubrir algo más que ese conjunto. Sea $X$ sea un espacio topológico, y sea $K$ sea un subconjunto compacto de $X$ . Una familia $\mathscr{U}$ de subconjuntos abiertos de $X$ es una cubierta abierta de $K$ si $K\subseteq\bigcup\mathscr{U}$ ; no es necesario que $K=\bigcup\mathscr{U}$ . Tienes razón en que $\bigcup\mathscr{U}$ al ser una unión de conjuntos abiertos, debe ser abierto en $X$ pero no tiene por qué ser igual a $K$ .

Por ejemplo, supongamos que $X=\Bbb R$ y $K=[0,3]$ la familia $\{(-1,2),(1,4)\}$ es una cubierta abierta de $[0,3]$ es una familia de conjuntos abiertos, y $[0,3]\subseteq(-1,2)\cup(1,4)=(-1,4)$ . Y sí, $(-1,4)$ está ciertamente abierto en $\Bbb R$ pero $[0,3]$ no lo es.

Por cierto, no es cierto que un subconjunto compacto de un espacio topológico arbitrario sea cerrado. Por ejemplo $\tau$ sea la topología cofinita en $\Bbb Z$ los conjuntos abiertos son $\varnothing$ y los conjuntos cuyos complementos en $\Bbb Z$ son finitos. Es un ejercicio sencillo demostrar que cada subconjunto de $\Bbb Z$ es compacto en esta topología, pero los únicos conjuntos cerrados son los finitos y $\Bbb Z$ mismo. Así, por ejemplo, $\Bbb Z^+$ es un subconjunto compacto que no es cerrado.

Sin embargo, es cierto que los conjuntos compactos en espacios de Hausdorff son cerrados, aunque hay que trabajar un poco para establecer el resultado.

Answer 2

Para quien se encuentre con esta pregunta en el futuro, he aquí una prueba:

Teorema: Los subconjuntos compactos de espacios métricos son cerrados.

Prueba: Sea $K$ sea un subconjunto compacto de un espacio métrico $X$ y demostrar que $K$ es cerrado demostraremos que su complemento $K^c$ está abierto.

Sea $p \in K^c$ . Ahora bien $q_\alpha \in K$ , dejemos que $r_\alpha = \frac{1}{2}d(p,q_\alpha)$ y denotaremos la vecindad de radio $r_\alpha$ en torno a $q_\alpha$ ser $B_{r_\alpha}(q_\alpha) = \{x \in X \mid d(q_\alpha,x) < r_\alpha\}$ y la vecindad de radio $r_\alpha$ en torno a $p$ ser $B_{r_\alpha}(p) = \{x \in X \mid d(p,x) < r_\alpha\}$ . Entonces la colección de conjuntos abiertos $\{B_{r_\alpha}(q_\alpha)\}_\alpha$ es una cubierta abierta de $K$ . En $K$ es compacto existe una subcubierta finita de $\{B_{r_\alpha}(q_\alpha)\}_\alpha$ tal que

$$K \subset B_{r_1}(q_1) \cup \cdots \cup B_{r_n}(q_n) = U.$$

Ahora hago la siguiente afirmación:

Reclamación: $(B_{r_1}(p) \cap \cdots \cap B_{r_n}(p)) \cap U = \emptyset$ .

Prueba: Supongamos que $x \in (B_{r_1}(p) \cap \cdots \cap B_{r_n}(p)) \cap U$ . Entonces debemos tener que $x\in B_{r_i}(p)$ para $1 \leq i \leq n$ y $x\in U$ . En $x\in U$ entonces existe un $i (1 \leq i \leq n)$ tal que $x\in B_{r_i}(q_i)$ y, sin pérdida de generalidad, suponemos que $x \in B_{r_1}(q_1)$ . En particular, también debemos tener que $x\in B_{r_1}(p)$ . Por lo tanto, por la desigualdad del triángulo tenemos,

$$d(p,q_1) \leq d(p,x) + d(x,q_1) < r_1 + r_1 = d(p,q_1).$$

Sin embargo, esto es una contradicción. Por lo tanto, $p \in B_{r_1}(p) \cap \cdots \cap B_{r_n}(p) \subset K^c$ lo que significa que $p$ es un punto interior de $K^c$ . En $p$ era arbitraria, $K^c$ está abierto y, por tanto, $K$ se cierra como se desea. $_\Box$

Espero que esto pueda ayudar a alguien.

Answer 3

Los conjuntos compactos no tienen por qué estar cerrados en un general espacio topológico. Por ejemplo, consideremos el conjunto $\{a,b\}$ con la topología $\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}\}$ (esto se conoce como Espacio de dos puntos de Sierpinski ). El conjunto $\{a\}$ es compacta ya que es finita. Sin embargo, no es cerrado, ya que no es el complemento de un conjunto abierto.

Answer 4

Todo conjunto infinito con topología de complemento finito es el contraejemplo. Este espacio es compacto, sin embargo no es Hausdorff. Sea $X=[0,\omega]$ con topología de complemento finito. Entonces el espacio $X\setminus \{\omega\}$ es compacta, pero no está cerrada.

Answer 5

"Por definición de conjunto compacto significa que dada una cubierta abierta podemos encontrar una subcubierta finita que cubra el espacio topológico". ( $*$ )

Creo que lo que te confunde es la diferencia entre "subconjunto compacto de un espacio topológico" y "espacio compacto" y también la palabra "abierto" en "cubierta abierta".

Un espacio topológico $(X,\tau)$ es compacto, y por tanto se llama espacio (topológico) compacto, si para cualquier cubierta abierta de $X$ existe una subcubierta finita.

En tapa abierta para un espacio topológico $(X,\tau)$ es una familia de subconjuntos abiertos $\{U_\alpha:U_\alpha\in\tau, \alpha\in I\}$ tal que $$ \bigcup_{\alpha\in I} U_\alpha= X $$ donde $I$ denota algún conjunto de índices.

En el espacio topológico $(X,\tau)$ un subconjunto $A\subset X$ se denomina compacta si $A$ con el topología del subespacio es un espacio topológico compacto. En su definición ( $*$ ), "el espacio topológico" se refiere al subconjunto con la topología del subespacio. Sin embargo, hay dos formas diferentes de entender "cubierta abierta" en (*), que son equivalentes. Supongamos que hablamos de $\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$ siendo una cubierta abierta para $A\subset X$ . Entonces

• Si lo entiendes como una cubierta abierta para el espacio topológico $A$ entonces "abierto" significa abierto en $A$ (con la topología del subespacio) y "cobertura" se entiende como "igual" $$ \bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha=A\quad U_\alpha \ \hbox{open in}\ A. $$

• Si lo entiende como un tapa abierta para el subconjunto $A\subset X$ entonces "abierto" significa abierto en $X$ y "cubrir" debe entenderse como "contener": $$ \bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha\supset A\quad U_\alpha\ \hbox{open in}\ X. $$

Cuando decimos un conjunto compacto cerrado $A$ en algún espacio topológico $X$ cerrado" significa "cerrado en $X$ " y $A\subset X$ (con la topología de subespacio) es un espacio topológico compacto. Obsérvese que cualquier subconjunto $A\subset X$ es cerrado con respecto a la topología del subespacio.