¿Está toda la función constante cuando$ |f(z)|\le \log|z|,\ |z|>1$.

Question

Deja$ f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} ,$ whole y$|f(z)|\le \log|z|,\ |z|>1. $

Mostrar que$f$ es constante.

Lo primero que viene a la mente es el teorema de Louville, pero los problemas de log con la analiticidad me confunden.

Answer 1

Seleccione$\epsilon>0$ y deje$r=\exp(\epsilon)>1$. Entonces$|f(z)|\le\epsilon$ para todo$z$ con$|z|=r$ por hipótesis. Por el principio de módulo máximo,$|f(z)|\le \epsilon$ para todo$z$ con$|z|<r$, especialmente para todos$z\in\mathbb D$. Dado que$\epsilon$ fue arbitrario,$f|_{\mathbb D}=0$, de ahí$f=0$.

Answer 2

Deja$z\in \mathbb{C}$, con$|z|=1$. Ponga$a_n=1+1/n$ y$z_n=a_nz$. Por su hipótesis, tenemos$0\leq |f(z_n)|\leq \log a_n$. Por lo tanto$|f(z_n|\to 0$ as$n\to \infty$. Pero $|f(z_n)|\to |f(z)|$. Por lo tanto$f(z)=0$ para todos$z$ en el círculo de la unidad, y$f=0$.

Answer 3

Si usas la Fórmula Integral de Cauchy, la prueba es muy sencilla. Nota, para$\forall n\ge 1$,$$ |f^{(n)}(0)|=\frac{n!}{2\pi}\bigg|\int_{|z|=r}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz\bigg|\le\frac{n!}{2\pi}\frac{\ln r}{r^{n+1}}2\pi r=\frac{n!\ln r}{2\pi r^n}\to0\text{ as }r\to\infty $ $ y hene$f\equiv C$ es una constante. $|f(z)|\le \ln |z|$,$|z|>1$%,$$ |C|\le \ln|z| \text{ for }\forall |z|>1. $ $ Puede usar la misma forma para mostrar Un resultado más general: Si hay un$|z|\to1$ constante tal que$C=0$ $ entonces$$ f(z)\equiv0.$ es un polinomio.