¿Por qué están las bolas cerradas en el compacto de topología adic$p$?

Question

Yo estaba rozando a través de algunos de este documento Medibles Dinámica y Simple $p$-ádico Polinomios de curiosidad.

Un par de páginas, la autora afirma que se cerró bolas están abiertos y compacto establece en el $p$-ádico la topología en $\mathbb{Q}_p$. No he sido capaz de comprobar esto, y me gustaría entenderlo antes de continuar.

Para mayor claridad, vamos a un circuito cerrado de bolas $B(x,r)=\{y\in\mathbb{Q}_p:|x-y|_p\leq p^{-r}\}$. Entonces, ¿por qué es $B(x,r)$ abierto y compacto en el $p$-ádico de topología?

He sido capaz de demostrar que desde $\mathbb{Q}_p$ no Archimedian valor absoluto, entonces cualquier punto dentro de la bola puede ser llevado a ser el centro, y a partir de eso, que alguno de los dos cerrados bolas $B(x,r)$ $B(y,s)$ son distintos o uno está contenido en el otro.

Gracias!

Answer 1

Es suficiente con mirar las bolas centradas en $0$. Es más fácil ver si representan el $p$-ádico racionales en el formulario $$x = \sum_{k\ge k_0}\frac{x_k}{p^k},$$ where the $x_k$ are the $p$-adic digits of $x$, so that $$B(0,r) = \left\{\sum_{k\ge r} \frac{x_k}{p^k}:\forall k\bigg(x_k\in\{0,1,\dots,p-1\}\bigg)\right\}.$$

Ahora vamos a $D = \{0,1,\dots,p-1\}$, y dar $D$ la topología discreta; yo reclamo que $B(0,r)$, como un subespacio de $\mathbb{Q}_p$, es homeomórficos para el espacio del producto $D^\omega$, que por supuesto es compacto. (De hecho, es un conjunto de Cantor.) El homeomorphism es la obvia: $$h:D^\omega\to B(0,r):\langle x_k:k\in\omega\rangle\mapsto \sum_{k\ge r}\frac{x_{k-r}}{p^k}.$$

Claramente $h$ es un bijection: $$h^{-1}:B(0,r)\to D^\omega:x=\sum_{k\ge r}\frac{x_k}{p^k}\mapsto \langle x_{k+r}:k\in\omega\rangle\;.$$

$B(0,r)$ tiene una base de clopen conjuntos de la forma $B(x,s)$ donde$x\in B(0,r)$$s\ge r$. Fijar un $B(x,s)$,$x=\sum_{k\ge r}\frac{x_k}{p^k}$. Si $y=\sum_{k\ge r}\frac{y_k}{p^k}\in B(0,r)$, $|x-y|_p = p^{-m}$ donde $m=\min\{k\ge r:x_k\ne y_k\}$, lo $y \in B(x,s)$ fib $m\ge s$. En otras palabras, $$B(x,s) = \bigg\{y\in B(0,r):\min\{k\ge r:y_k\ne x_k\}\ge s\bigg\},$$ and therefore $$h^{-1}[B(x,s)] = \bigg\{\langle y_{k+r}:k\in\omega\rangle:(\forall k<s-r) \big[y_{k+r}=x_{k+r}\big]\bigg\},$$ which is a basic open set in the product $D^\omega$. Thus, $h$ is a continuous bijection. The sets of the form $h^{-1}[B(x,s)]$ are a base for $D^\omega$, so the same calculation shows that $h^{-1}$ is continuous and hence that $h$ es un homeomorphism.

Answer 2

Probablemente sea más fácil mostrar compacidad secuencial ... que cada secuencia de puntos de la bola tiene una subsecuencia convergente (Esto es equivalente a compacidad para espacios métricos).

Esto se puede hacer mucho como demostrarías usando expansiones decimales que cada secuencia de números reales entre 0 y 1 tiene una subsecuencia convergente, usando la diagonalización de Cantor por ejemplo.