Pregunta sobre un resultado de Artin y Tate

Question

Este es un resultado de Artin y Tate se encuentra en Serge Lang Álgebra. (Página 166.)

Deje $G$ ser un número finito de operaciones del grupo en un conjunto $S$. Para $w\in S$, denotan $1\cdot w$$[w]$, por lo que tenemos la suma directa de $$ \mathbb{Z}\langle S\rangle=\sum_{w\S}\mathbb{Z}[w]. $$ Definir una acción de $G$ $\mathbb{Z}\langle S\rangle$ definiendo $\sigma[w]=[\sigma w]$, y la ampliación de $\sigma$ $\mathbb{Z}\langle S\rangle$por la linealidad. Deje $M$ ser un subgrupo de $\mathbb{Z}\langle S\rangle$ de la fila $\#(S)$. Mostrar que $M$ $\mathbb{Z}$base $\{y_w\}_{w\in S}$ tal que $\sigma y_w=y_{\sigma w}$ todos los $w\in S$.

Sé que esto es una adaptación de un resultado en Artin y Tate notas en Clase la Teoría de Campo. He encontrado pruebas de ideas similares en Lang, la Teoría Algebraica de números (Teorema 1 de la página 190), y en Nancy Childress del libro aquí.

Traté de leer a través de las pruebas y el correspondiente lemas, pero han tenido dificultades para descifrar y ponerlas en el contexto de Lang en su declaración. Acaso hay una atontada justificante de la declaración anterior más adecuado para el uso de conocimiento básico de los grupos, anillos y módulos? Gracias.

Answer 1

Debo estar mal de la incomprensión de la declaración, ya que la forma en que lo leí, es completamente erróneo. Parece estar diciendo que cada rango completo de los subgrupos de una permutación en el módulo $\mathbb{Z}$ sí es isomorfo a una permutación módulo, lo cual no es cierto.

En primer lugar, no todo el rango completo de los subgrupos es incluso un submódulo en el primer lugar. Los ejemplos abundan: por ejemplo, la acción de $G$ sobre sí mismo (por lo $S=G$) y considerar el submódulo de $\mathbb{Z}[G]$$\{\sum_{g\in G}a_g g: a_g\in \mathbb{Z}, a_1\in 2\mathbb{Z}\}$. Este es un subgrupo, pero no es, ciertamente, preservada por el regular $G$-acción.

En segundo lugar, no todos los submódulo es una permutación del módulo. E. g. tome $G=C_2$, el grupo cíclico de orden 2, y considerar la posibilidad de regular la acción. Uno puede visualizar el módulo de $\mathbb{Z}[G]$ como una rejilla rectangular en la que el no-trivial elemento $g$ $G$ hechos por el reflejo de la diagonal (la base obvia consiste en $[1]$$[g]$). Ahora, considere el submódulo se extendió por $[1]+[g]$$[1]-[g]$. Esta es una suma directa de dos dimensiones de los módulos a través de $\mathbb{Z}$, y por lo tanto no isomorfo al módulo original, que está en contradicción con lo que la declaración está reclamando.

Edit: Ok, eché un vistazo a la referencia en el Lang de la Teoría Algebraica de números, y allí se da una versión correcta de esta declaración: todos los $G$-estable de rango completo sublattice real de una permutación módulo tiene un rango completo submódulo isomorfo a una permutación módulo. Pero eso no es todo lo que el presente ejercicio está diciendo.