¿Por qué Frank Adams demanda un complejo CW finito?

Question

En la página 145 de J. F. Adams' "Estable Homotopy y Generalizado de la Homología", no es una proposición:

Deje $E$ la suspensión del espectro de un número finito de CW-complejo de $K$, e $F$ y el espectro (de espacios topológicos). A continuación,$[E,F]=\mathrm{colim_n}[\Sigma^nK,F_n]$. La prueba no es difícil, y se procede como sigue:

Dadas dos espectros de los mapas que están de acuerdo en la colimit, decir $f$$g$, están de acuerdo en algún nivel finito, $[\Sigma^pK,F]$. Por lo tanto, la homotopy a ese nivel puede ser suspendido para crear un homotopy de cofinite subspectra, que es exactamente lo que necesitamos para tener una homotopy clase de mapas en $[E,F]$. Sin embargo, no puedo ver por qué se requiere que el $K$ ser un número finito de CW-complejos. Parece que se puede encontrar una cota superior de a$f$$g$, independientemente de la restricción que, basada en el hecho de que estamos utilizando un filtrado colimit. ¿Tienen sentido, o es que hay una razón obvia por la que uno puede elegir de un número finito de $K$?

Gracias!

Answer 1

Usted dijo que había averiguado, pero por el registro público que vamos a decir por qué, de todos modos.

Un mapa de los espectros $X \to Y$, en Adams' términos, se define en el "células de ahora, los mapas más tarde" formalismo. Es decir, por cada célula individual, hay algunos suspensión de la misma, donde el mapa se define, pero no puede ser definido en un primer momento. Tenga en cuenta que para cada celda hay algunos finito etapa en la que el mapa está definido.

Si $X$ es una suspensión espectro de un complejo finito, entonces hay un número finito de células y por lo que este es el mismo que, eventualmente, tener un mapa definido $X_n \to Y_n$. Si $X$ es una suspensión espectro de un infinito complejo, puede tener un mapa que es sólo eventualmente se define en cada una de las células, y en realidad nunca definidas en todos los de $X_n$.

Tenga en cuenta que esto es necesario para $K \mapsto [\Sigma^\infty K, Y]$ a ser un cohomology de la teoría de la satisfacción de la cuña axioma.

Esto, por cierto, fue el tema de un error en una vieja edición de Hatcher texto (mediante un sistema más moderno punto de vista sobre los espectros de Adams); ver aquí para más detalles.