Es mi prueba de que $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ ¿correcto?

Question

Todavía estoy aprendiendo Álgebra Lineal en sus niveles básicos, y me encontré con un teorema sobre matrices invertibles que decía eso:

Si $A$ es una matriz invertible, entonces para $n=0,1,2,3,..$ . $A^n$ es invertible y $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ .

Ahora, al intentar escribir mi prueba, he procedido así (nótese que no está completa):

$$A^n(A^{-1})^n=\prod_{i=1}^nA\prod_{i=1}^nA^{-1}=\prod_{i=1}^n(AA^{-1})=\prod_{i=1}^nI=I$$

¿Es correcta esta línea de pensamiento? Bueno, estoy volviendo a las matemáticas después de mucho tiempo de poca práctica, así que podría estar equivocado.

Basándome en mi comentario a la respuesta de Dimitri, ¿el uso de este argumento mejoraría mi prueba?

$$\prod_{i=1}^{n-1}A.(AA^{-1}).\prod_{i=1}^{n-1}=\prod_{i=1}^{n-1}A.(I).\prod_{i=1}^{n-1}=...=A.(AIA^{-1}).A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I$$

Después de comprobar los comentarios, parece que este último argumento me da una prueba correcta finalmente, y ahora veo que el problema de mi planteamiento original era argumentar que:

$$\prod_{i=1}^nA\prod_{i=1}^nA^{-1}=\prod_{i=1}^n(AA^{-1})$$

Que es no necesariamente correcto Pero, como demuestra @Srivatsan, ese enfoque no es en absoluto erróneo, ya que :

Observe que $A$ y $A^{−1}$ conmutación, así que esto justifica su prueba ahora

Gracias a todos por la orientación, ahora veo porque la colaboración me va a hacer amar las matemáticas :D

Answer 1

Su prueba no es realmente correcta. Lo que quiero decir es que, para las matrices generales $A$ y $B$ la declaración $$ A^n B^n = \prod A \prod B = \prod (AB) $$ puede estar equivocado porque $A$ y $B$ no necesita desplazarse. Yo intentaría hacerlo por inducción en su lugar.

Answer 2

Creo que la pregunta que hay detrás de tu pregunta es "¿qué hace la información?". Es una buena pregunta.

Tecnicismo gramatical:

¿El PCA? siempre ¿perder información? No. ¿Se trata de a veces ¿perder información? Youbetcha. Puede reconstruir los datos originales a partir de los componentes. Si siempre perdiera información, esto no sería posible.

Es útil porque no suele perder información importante cuando se utiliza para reducir la dimensión de los datos. Cuando se pierden datos, suelen ser los de mayor frecuencia y, a menudo, los menos importantes. Las tendencias generales a gran escala se recogen en los componentes asociados a los valores propios más grandes.

Answer 3

Como señala Dimitri, tu prueba es incompleta. Puedes hacerla funcionar de dos maneras:

1. Puede agrupar el medio $AA^{-1}$ (recuerde que el producto matricial es asociativo ). Observando que esto es igual a $I$ el producto se simplifica en $A^{n-1} (A^{-1})^{n-1}$ . A continuación, puede utilizar la inducción para argumentar que $A^n (A^{-1})^{n}$ es $I$ para todos $n$ .

2. Esta es una variante ligeramente más general del truco anterior. Supongamos que $A$ y $B$ son matrices conmutativas (es decir, $AB = BA$ ), entonces sí puede utilizar $$ A^n B^n = (AB)^n $$ ¡libre de culpa! (Obsérvese que $A$ y $A^{-1}$ de viaje, así que esto justifica su prueba ahora por lo que también puedes justificar la prueba de esta manera. Tenga en cuenta que algunos La justificación es necesaria, de lo contrario la prueba es errónea o incompleta). La prueba de este hecho también utiliza ideas parecidas; a ver si puedes resolverla tú mismo.

De hecho, si se tiene un producto arbitrario de matrices formado por $m$ $A$ y $n$ $B$ (y ninguna otra matriz), entonces se puede demostrar que este producto es igual a $A^m B^n$ . Por ejemplo, si $A$ y $B$ conmutan, entonces $$ B^5ABA^2 B^{3} = A^{1+2} B^{5+1+3} = A^3 B^9. $$

---

Un método por inducción:

Te dejo que compruebes que el resultado es cierto para el caso base $n=0$ . Para el paso de inducción, supongamos que $$ (A^{n-1})^{-1} = (A^{-1})^{n-1} .$$ Ahora debemos probar la demanda de $n$ . Esto se deduce de la cadena de igualdades: $$ \begin{eqnarray*} (A^n)^{-1} &=& (A \cdot A^{n-1})^{-1} \\ &\stackrel{({a})}{=}& (A^{n-1})^{-1} \cdot A^{-1} \\ &\stackrel{({b})}{=}& (A^{-1})^{n-1} \cdot A^{-1} \\ &=& (A^{-1})^{n}. \end{eqnarray*} $$ Asegúrese de justificar cada paso, especialmente los marcados $(a)$ y $(b)$ .

Answer 4

Lo que sé es que si $A$ y $B$ son invertibles entonces $AB$ es así. Entonces $A^n$ es invertible , estoy de acuerdo con (mt_ ) por inducción se puede demostrar: sabemos que

$n=1$ es correcto $A^{-1}A=I$

si $n=k$ es correcto ; $(A^{k})^{-1}A^k=I$ entonces debemos mostrar $(A^{k+1})^{-1}(A^{})^{k+1}=I$

tenemos $(A^{k+1})^{-1}A^{k+1}=(A^{k}A)^{-1}A^{k+1}=A^{-1}(A^k)^{-1}A^{k}A=A^{-1}(A)=I$

sabemos que $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$