Sea$(X,\mathcal{E})$ un espacio de medida. Sea$\mu : \mathcal{E} \to \mathbb{R}^+$ una medida positiva. Si$f: X \to \mathbb{R}^m$ es medible y$z \in \mathbb{R}^m$, ¿es cierto que:$\int_B \langle f, z \rangle d\mu = \langle \int_B f d\mu, z \rangle$?
Podría demostrar esto para funciones simples$f$ pero no para funciones generales.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
Gracias, Phanindra
Escribiendo$f=(f_1,\ldots,f_m)$ y$z=(z_1,\ldots,z_m)$, ambos lados son$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^mz_k\int_Bf_k\text{d}\mu$, así que sí, son iguales en cuanto todo lo escrito tenga sentido, es decir, tan pronto como cada$f_k$ es Integrable en$B$.
En la LHS, esto se deduce de la definición del producto escalar$\langle\ ,\ \rangle$ y de la linealidad de la integral. En el RHS, esto se deduce de la definición de la integral de una función de valor vectorial y la definición del producto escalar$\langle\ ,\ \rangle$.
Tiene usted alguna mente para el caso de que $f$ $z$ dependen tanto de $B$ $X$ (me refiero a los elementos de estos espacios)?
Si no nos podemos poner condiciones en $z$? por ejemplo, $z$ es lo suficientemente pequeño.
Como puedo lidiar con este problema, la respuesta a mi primera pregunta es NO, para la segunda pregunta, yo escribo: Definimos $s := \max_{\xi \in B} \{z (\xi , x)\}$, por el teorema de Fubini nos han $\int_{B}\int_{D} g (z - s) dx d\mu(\xi) = \int_{B\times D} g (z - s) dx d\mu(\xi)$ $\leq \|(z - s)\| \|g\|$ $\leq 2 \|s\| \|g\|$ como $\|z\| \rightarrow 0$$\|s\| \rightarrow 0$, ahora uno puede escribir $\int_{B \times X} g z dx d\mu(\xi) = \int_{B \times X} g s dx d\mu(\xi) $ $= \int_{X} s \int_{B} g d\mu(\xi) dx = \langle E[g] ,s \rangle,$ tomando nota también de que
$$\langle E[g] ,E[z] - s \rangle \leq \int_{D}\int_{B} (z - s) d\mu(\xi)dx \int_{D} \int_{B} g d\mu(\xi)dx $$
Estoy en lo cierto? De antemano gracias por su contribución.
Y una más, de las normas que pertenece adecuado de los espacios y no son las mismas.
Si usted tiene cualquier pregunta estoy ansioso por aquí.
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