funciones satisfaciendo $f(x)=2f(2x)$

Question

¿Cómo puedo probar cada función real liso f satisfaciendo $f(x)=2f(2x)$ de la $f(x)=k/x$ $k$ ¿Dónde está una constante? He intentado esto para los números enteros que se pueden dividir en $2^n$, pero luego no puedo continuar más. Alguien me puede dar alguna ayuda???

Answer 1

Supongo que su función $f:\mathbb{R}^+\mapsto \mathbb{R}^+$.

Definir $g:\mathbb{R}^+\mapsto \mathbb{R}^+$ $g(x)=x{f(x)},\quad \forall x\in\mathbb{R}^+.$ a Continuación, usted tiene $g(x)=g(2x).$ Ahora uso este post para mostrar que $g$ es constante. En consecuencia, se llega a lo que tu querías.

NOTA: Usted puede generalizar a tu pregunta de la siguiente manera:

Dado que a>1. A continuación, una función continua $f$ (no es necesario suave) que satisface $$ f(x)=af(ax) $$ implica $f(x)=k/x$ para algunas constantes $k$.

Answer 2

Sugerencia: Set %#% $ #%

entonces

$$r(x)=\dfrac{1}{f(x)}$$

Desde usted conseguirá $$r(2x)=\dfrac{1}{f(2x)}=\dfrac{2}{f(x)}=2r(x)$ y encontrará $r(nx)=nr(x)$.

Answer 3

Podemos observar que una solución es $g(x) = 1/x$. Suponga que otra solución es $h(x)$. Entonces $$g(x)/h(x) = 2g(2x)/2h(2x) = g(2x)/h(2x)$ $, pero mirándolo al revés, $$g(x)/h(x) = g(x/2)/h(x/2)$ continuar esto inductivo tenemos %#% $ #% así tenemos para todos $$g(x)/h(x) = g(x/2)/h(x/2) = g(x/4)/h(x/4) = g(x/8)/h(x/8) = g(x/16)/h(x/16) = \dots$ y $a$$ % % $ $b \in R$

Así $$g(a)/h(a) = \lim_{n\to\infty} g(a/2^n)/h(a/2^n) = \lim_{t\to 0} g(t)/h(t) = \lim_{n\to\infty} g(b/2^n)/h(b/2^n) = g(b)/h(b)$ se evalúa como una constante para todos los $g(x)/h(x)$, lo que implica que el $x$ $h(x)=kg(x)=k/x$ %

Espero que esto te sirva. :)