Deje $f: M \rightarrow N$ ser suave, un mapa entre dos submanifolds de $\mathbb{R}^{m}$, $\mathbb{R}^{n}$ respectivamente. Adrs del famoso teorema afirma que el conjunto de valores críticos de $C$ $f$ tiene medida cero.
Mi pregunta es: ¿cada null conjunto en $\mathbb{R}^n$ surgir como el conjunto de valores críticos de algunas suave mapa de $f$ como el anterior?
Como empezar: Para $n=1$ $C \subset \mathbb{R}$ contables, creo que se puede construir un mapa. Es decir, vamos a $M=\coprod_{c \in C} \mathbb{R}$ ser distinto de la unión de $|C|$ copias de $\mathbb{R}$ $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ ser definido por $(x,c) \mapsto x^2+c$. $M$ es un one-dimensional real colector (es $2$nd contables, Hausdorff y lleva un natural suave estructura viniendo de la de $\mathbb{R}$). Por lo tanto, por Whitney, o puede ser incorporado como un submanifold de algunos $\mathbb{R}^m$. Por otra parte, el conjunto de valores críticos de $f$ es exactamente $C$.
Pero este enfoque no parece de trabajo en general. Si $C \subset \mathbb{R}$ es un incontable null establecer, por ejemplo, a continuación, $M=\coprod_{c \in C} \mathbb{R}$ no $2$nd contables, por lo tanto no es un suave colector en el sentido habitual y Whitney del teorema no se aplica.
Cualquier ayuda hacia una respuesta a mi pregunta es muy apreciada! En particular, las referencias también son bienvenidos.
